Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de
. (Cuidado!)
O conjunto dos polinômios em
de grau par.
O conjunto dos polinômios em
Passo 1
O enunciado pede para analisar o conjunto
onde
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 4. Para ser subespaço vetorial de
,
deve satisfazer três propriedades:
-
. - Se
então . - Se
e escalar, então .
Passo 2
Verificamos se o polinômio zero,
, pertence a
. Por definição usual,
, que não é um número par. Logo
violando imediatamente a condição de existência do vetor zero.
Passo 3
Mesmo que ignorássemos a questão do grau do zero, a soma de dois polinômios de grau par nem sempre tem grau par. Por exemplo, seja
Temos
e
, ambos pares, mas
e
, que é ímpar. Portanto
.
Resposta
O conjunto dos polinômios de grau par em
não é subespaço de
.