Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de P4. (Cuidado!)
O conjunto dos polinômios em 4 de grau par.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o conjunto
S = ,pin P4middeg(p) é par é
onde P4 é o espaço dos polinômios de grau no máximo 4. Para ser subespaço vetorial de P4, S deve satisfazer três propriedades:
  1. 0in S.
  2. Se p,qin S então p+qin S.
  3. Se pin S e alpha escalar, então alpha pin S.

Passo 2

Verificamos se o polinômio zero, 0, pertence a S. Por definição usual, deg(0)=-infty, que não é um número par. Logo
0notin S,
violando imediatamente a condição de existência do vetor zero.

Passo 3

Mesmo que ignorássemos a questão do grau do zero, a soma de dois polinômios de grau par nem sempre tem grau par. Por exemplo, seja
p(x)=x^2+1, q(x)=-,x^2+x
Temos deg(p)=2 e deg(q)=2, ambos pares, mas
p(x)+q(x) = (x^2+1)+(-x^2+x)=x+1,
e deg(x+1)=1, que é ímpar. Portanto p+qnotin S.

Resposta

O conjunto dos polinômios de grau par em P4 não é subespaço de P4.

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