5 Uma reta
é tangente a uma elipse
num ponto
se
interseta
só no ponto
.
(a) Verifique que a reta tangente à elipse
num ponto
é
(b) Determine a equação da reta tangente à elipse
que passa pelo ponto
.
(a) Verifique que a reta tangente à elipse
(b) Determine a equação da reta tangente à elipse
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a) queremos mostrar que, para a elipse
a reta tangente em
é
Na parte (b) temos a elipse
e um ponto exterior
. Queremos achar todas as retas tangentes à elipse que passam por
. Para isso vamos usar a forma geral
, impor que ela passe por
e em seguida exigir que a substituição em
produza uma equação do segundo grau em
com discriminante zero (condição de tangência).
Passo 2
(a) Para achar a reta tangente por
usamos diferenciação implícita em
Temos
logo
Em
isso dá inclinação
A reta tangente em ponto–inclinação é
Bastam alguns rearranjos algébricos para chegar à forma polar da elipse:
Passo 3
(b) Seja
. Toda reta que passa por
pode ser escrita como
com
Para que essa reta seja tangente à elipse
substituímos
e obtemos uma equação do tipo
A condição de tangência é discriminante zero:
Passo 4
Calculando
e usando
dá, após simplificar,
Resolvendo essa quadrática em
:
resultando em
Passo 5
Para cada
calculamos
:
-
Se
então reta: -
Se
então reta:
Resposta
As duas retas tangentes à elipse
que passam por
são