5 Uma reta r é tangente a uma elipse E num ponto P in E se r interseta E só no ponto P,(r cap E=P).
(a) Verifique que a reta tangente à elipse E: x^2a^2+y^2b^2=1 num ponto P=(x0, y0) é x0a^2 x+y0b^2 y=1 ;
(b) Determine a equação da reta tangente à elipse E: x^220+y^25=1 que passa pelo ponto P=(103, 253).

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) queremos mostrar que, para a elipse
x^2a^2+y^2b^2=1,
a reta tangente em P=(x0,y0) é
x0a^2,x+y0b^2,y=1
Na parte (b) temos a elipse
x^220+y^25=1
e um ponto exterior Pext=l(tfrac103,tfrac253r). Queremos achar todas as retas tangentes à elipse que passam por Pext. Para isso vamos usar a forma geral y=mx+c, impor que ela passe por Pext e em seguida exigir que a substituição em x^220+y^25=1 produza uma equação do segundo grau em x com discriminante zero (condição de tangência).

Passo 2

(a) Para achar a reta tangente por P=(x0,y0) usamos diferenciação implícita em
F(x,y)=x^2a^2+y^2b^2-1=0
Temos
partial Fpartial x=2xa^2, partial Fpartial y=2yb^2,
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dydx=-FxFy =-tfrac2xa^2tfrac2yb^2 =-x,b^2y,a^2
Em P=(x0,y0) isso dá inclinação
mP=-x0,b^2y0,a^2
A reta tangente em ponto–inclinação é
y-y0 =mP,(x-x0)
Bastam alguns rearranjos algébricos para chegar à forma polar da elipse:
x0a^2,x+y0b^2,y=1

Passo 3

(b) Seja Pext=(x1,y1)=l(tfrac103,tfrac253r). Toda reta que passa por Pext pode ser escrita como
y = m,x + c,
com
c=y1-m,x1 =253-mcdot103 =25-10m3
Para que essa reta seja tangente à elipse
x^220+y^25=1
substituímos y=mx+c e obtemos uma equação do tipo
(1+4m^2),x^2+8m,c,x+(4c^2-20)=0
A condição de tangência é discriminante zero:
De<a =(8m,c)^2-4(1+4m^2)(4c^2-20)=0

Passo 4

Calculando De<a=0 e usando c=(25-10m)/3 dá, após simplificar,
4c^2-20-80m^2=0 Longrightarrow c^2=20m^2+5 Longrightarrow 4m^2+25m-29=0
Resolvendo essa quadrática em m:
m=-25pmraiz25^2-4cdot4cdot(-29)2cdot4 =-25pm338,
resultando em
m1=1, m2=-294

Passo 5

Para cada mi calculamos ci=(25-10mi)/3:
  • Se m1=1 então
    c1=25-10cdot13=153=5,
    reta:
    y = x + 5
  • Se m2=-tfrac294 então
    c2 =25-10l(-tfrac294r)3 =25+72,53 =97,53 =32,5 =652,
    reta:
    y = -294,x + 652

Resposta

As duas retas tangentes à elipse x^220+y^25=1 que passam por l(tfrac103,tfrac253r) são
boxedy = x + 5, y = -294,x + 652

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