Determine o núcleo de cada uma das matrizes a seguir.
(cccc1 & 1 & -1 & 2 2 & 2 & -3 & 1 -1 & -1 & 0 & -5)

Passo 1

O enunciado pede o núcleo (ou espaço nulo) da matriz
A = 1 & 1 & -1 & 2 2 & 2 & -3 & 1 -1 & -1 & 0 & -5
Isso significa resolver o sistema homogêneo Ax=0 em R^4.

Passo 2

Escrevemos o sistema linear equivalente:
x1 + x2 - x3 + 2x4 = 0, 2x1 + 2x2 - 3x3 + x4 = 0, -,x1 - x2 + 0cdot x3 - 5x4 = 0

Passo 3

Formamos a matriz aumentada e aplicamos operações de linha para pôr em forma escalonada:
(cccc|c 1 & 1 & -1 & 2 & 0 2 & 2 & -3 & 1 & 0 -1 & -1 & 0 & -5 & 0 ) to (cccc|c 1 & 1 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & -1 & -3 & 0 0 & 0 & -1 & -3 & 0 ) to (cccc|c 1 & 1 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & -1 & -3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )
Nas operações usei R2 R2-2R1, R3 R3+R1 e depois R3 R3-R2.

Passo 4

Da segunda linha escalonada obtemos
-,x3 - 3x4 = 0 Longrightarrow x3 = -3x4
Da primeira linha:
x1 + x2 - x3 + 2x4 = 0 Longrightarrow x1 = -,x2 + x3 - 2x4 = -,x2 - 3x4 - 2x4 = -,x2 - 5x4
Escolhendo variáveis livres x2=s e x4=t, temos
x3 = -3t, x1 = -s - 5t

Passo 5

A forma geral do vetor x=(x1,x2,x3,x4) no núcleo é
x = l(-s-5t,;s,;-3t,;tr) = s,(-1,1,0,0) + t,(-5,0,-3,1)

Resposta

ker(A)=span,(-1,1,0,0),;(-5,0,-3,1)

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