Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de P4. (Cuidado!)
O conjunto dos polinômios p(x) em P4 tais que p(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se
W = ,p(x)in P4mid p(0)=0
é subespaço de P4, o espaço de todos os polinômios de grau no máximo 4. Para isso vamos usar a definição de subespaço: é preciso verificar que
  1. o polinômio zero pertence a W,
  2. W é fechado sob soma,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o polinômio zero 0(x)equiv0 pertence a W, pois
0(0)=0

Passo 3

Tomemos p(x),q(x)in W. Então p(0)=0 e q(0)=0. Logo, no polinômio soma
(p+q)(0) = p(0) + q(0) = 0 + 0 = 0,
ou seja, p+qin W. Assim W é fechado sob adição.

Passo 4

Se p(x)in W e alpha é escalar qualquer, então
(alpha p)(0) = alpha,p(0) = alphacdot 0 = 0,
logo alpha pin W. Assim W é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto ,p(x)in P4mid p(0)=0 é um subespaço de P4.

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