Verifique se as retas r1 e r2 abaixo são iguais.
r1:lx=1+t y=2-t z=1+2 t t in R r2:lx=4+2 s y=-1-2 s z=7+4 s s in R ;

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em forma paramétrica em
Queremos verificar se elas representam a mesma reta. Para isso, precisamos de duas coisas: (1) as direções são proporcionais e (2) um ponto de (ou vice-versa).

Passo 2

Extraímos as direções e um ponto de cada reta.
Para r1:
ponto P1=(1,2,1) e vetor direção v1=(1,-1,2).
Para r2:
ponto P2=(4,-1,7) e vetor direção v2=(2,-2,4).
Observamos que
v2 = (2,-2,4) = 2,(1,-1,2) = 2,v1,
logo as duas direções são proporcionais e as retas são paralelas.

Passo 3

Para concluir que as retas coincidem, basta mostrar que um ponto de uma está sobre a outra. Calculamos
P2 - P1 = (4-1,;-1-2,;7-1) = (3,-3,6) = 3,(1,-1,2) = 3,v1
Como P2-P1 é múltiplo de v1, o ponto P2 pertence a r1. Alternativamente, podemos achar s tal que r2(s)=P1:
resolvendo 4+2s=1 s=-tfrac32, e isso leva a y=2 e z=1, coincidindo com P1.

Resposta

As retas r1 e r2 são iguais.

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