Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de R^3.
(x, y, z) in R^3 mid x+y=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o conjunto (x, y, z) in R^3 mid x+y=1 é um subespaço vetorial de R^3. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele precisa atender. Basicamente, um subespaço precisa conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos ver se ele satisfaz a condição x + y = 1:
0 + 0 = 0 neq 1
Então, o vetor zero não está no conjunto.

Passo 3

Já que o vetor zero não está no conjunto, a gente já sabe que ele não é um subespaço vetorial. Mas, só pra entender melhor, vamos lembrar das outras condições. Mesmo que a gente quisesse, o conjunto também não seria fechado para adição nem para multiplicação por escalar, porque somar dois vetores que satisfazem x + y = 1 não vai resultar necessariamente em um vetor que também satisfaz essa condição, e o mesmo vale para multiplicar por um número qualquer.

Resposta

O conjunto (x, y, z) in R^3 mid x+y=1 não é um subespaço vetorial de R^3 porque não contém o vetor zero e não satisfaz as condições de fechamento necessárias.

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