Determine se cada um dos conjuntos abaixo é finito, infinito enumerável ou nãoenumerável. Para aqueles infinitos enumeráveis, exiba uma enumeração mostrando os 10 primeiros elementos.
Os inteiros negativos.
Os inteiros negativos.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente decidir se o conjunto dos inteiros negativos
é finito, infinito enumerável ou não enumerável. Se for infinito enumerável, a gente ainda mostra os 10 primeiros elementos.
Conteúdo: teoria de cardinalidade de conjuntos (finito vs. infinito, enumerável vs. não enumerável) e técnica de enumeração.
Conteúdo: teoria de cardinalidade de conjuntos (finito vs. infinito, enumerável vs. não enumerável) e técnica de enumeração.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que é conjunto finito e infinito.
- Conjunto finito: tem um número limitado de elementos (ex.: {1,2,3}).
- Conjunto infinito: não dá pra contar todos os itens com número finito, ele “não acaba”.
Passo 3
Agora, dentro dos infinitos, tem dois casos:
- Enumerável (ou “contável”): seus elementos podem ser listados em sequência indexada por
. - Não enumerável: não existe lista que cubra todos (ex.: o conjunto dos reais
).
Um jeito formal é achar uma bijeção
. Se existir,
é enumerável.
Passo 4
Olha o nosso
.
- É infinito? Sim, porque sempre posso pegar um número negativo menor.
- Vamos ver se é enumerável: basta achar um jeito de listar todos sem perder nenhum.
Passo 5
Uma enumeração simples é associar cada
(começando em 1) ao número
.
Ou seja, defino
Ou seja, defino
Isso é bijetivo entre
e
. Logo,
é infinito enumerável.
Passo 6
Pra mostrar os 10 primeiros da enumeração, fazemos
:
Resposta
O conjunto dos inteiros negativos é infinito enumerável.
Uma enumeração dos 10 primeiros elementos é:
Uma enumeração dos 10 primeiros elementos é: