Determine se cada um dos conjuntos abaixo é finito, infinito enumerável ou nãoenumerável. Para aqueles infinitos enumeráveis, exiba uma enumeração mostrando os 10 primeiros elementos.
Os inteiros negativos.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente decidir se o conjunto dos inteiros negativos
A = dots, -3,,-2,,-1
é finito, infinito enumerável ou não enumerável. Se for infinito enumerável, a gente ainda mostra os 10 primeiros elementos.
Conteúdo: teoria de cardinalidade de conjuntos (finito vs. infinito, enumerável vs. não enumerável) e técnica de enumeração.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é conjunto finito e infinito.
  • Conjunto finito: tem um número limitado de elementos (ex.: {1,2,3}).
  • Conjunto infinito: não dá pra contar todos os itens com número finito, ele “não acaba”.

Passo 3

Agora, dentro dos infinitos, tem dois casos:
  1. Enumerável (ou “contável”): seus elementos podem ser listados em sequência indexada por .
  2. Não enumerável: não existe lista que cubra todos (ex.: o conjunto dos reais ).
Um jeito formal é achar uma bijeção . Se existir, é enumerável.

Passo 4

Olha o nosso .
  1. É infinito? Sim, porque sempre posso pegar um número negativo menor.
  2. Vamos ver se é enumerável: basta achar um jeito de listar todos sem perder nenhum.

Passo 5

Uma enumeração simples é associar cada f(n)=-n (começando em 1) ao número .
Ou seja, defino
Isso é bijetivo entre e . Logo, é infinito enumerável.

Passo 6

Pra mostrar os 10 primeiros da enumeração, fazemos f(1)=-1,;f(2)=-2,;dots,;f(10)=-10 :

Resposta

O conjunto dos inteiros negativos é infinito enumerável.
Uma enumeração dos 10 primeiros elementos é:
-1,;-2,;-3,;-4,;-5,;-6,;-7,;-8,;-9,;-10

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