Determine se cada um dos conjuntos abaixo é finito, infinito enumerável ou nãoenumerável. Para aqueles infinitos enumeráveis, exiba uma enumeração mostrando os 10 primeiros elementos.
Os inteiros pares.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente analisar o conjunto dos inteiros pares e dizer se ele é finito, infinito enumerável ou não enumerável. Se ele for infinito enumerável, temos que mostrar uma enumeração com os 10 primeiros elementos.
Conteúdo envolvido: teoria de conjuntos (noções de finito vs. infinito, enumerabilidade) e enumeração de conjuntos. Vamos usar a definição de conjunto enumerável (existe uma bijeção com ℕ) e montar uma lista que percorra todos os inteiros pares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o conjunto dos inteiros pares. A gente pode escrevê-lo como
Isso inclui …, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, … .
Claramente não é finito, porque você pode escolher em ℤ para obter quantos elementos quiser (sempre aparecem mais à direita e à esquerda).
Passo 3
Agora, será que é enumerável?
Definição informal: um conjunto infinito é enumerável se a gente consegue “listar” todos os seus elementos em sequência, sem deixar nenhum de fora, indexando-os por 0, 1, 2, 3, … (ou seja, existe uma bijeção com ℕ).
Uma forma prática de fazer isso para os pares é “passear” pelos pares em ordem de valor absoluto, alternando positivo e negativo. A função bijetora pode ser dada por:
Esse truque garante que a gente pega primeiro 0, depois +2, depois −2, depois +4, depois −4, e assim vai, alcançando todo par uma hora.
Passo 4
Vamos listar os 10 primeiros valores dessa enumeração:
Para 0,;2,;-2,;4,;-4,;6,;-6,;8,;-8,;10 , temos
Resposta
O conjunto dos inteiros pares é infinito enumerável.
Uma enumeração que lista os 10 primeiros elementos é: