Seja an o n-ésimo termo da sequência 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6, ldots, construída incluindo o inteiro k exatamente k vezes. Mostre que an=lfloorraiz2 n+12rfloor.

Passo 1

Beleza! O enunciado diz que temos a sequência
1, 2,2, 3,3,3, 4,4,4,4, … onde cada inteiro k aparece k vezes. Chamamos de o n-ésimo termo dessa sequência.
Conteúdo: sequência e números triangulares, inversão de soma para achar k em função de n, uso de piso (⟂⟂⌊⋅⌋) e raiz quadrada.
O que precisamos:
  • Entender que o total de termos até o k-ésimo bloco é um número triangular .
  • Achar, dado um , qual k satisfaz .
  • Resolver essa desigualdade usando raízes de equação quadrática e converter num piso de .

Passo 2

Primeiro, vamos definir a teoria dos números triangulares.
Se eu somo 1 + 2 + … + k, o resultado é
Tk ;=; k(k+1)2
Na nossa sequência, o bloco “1” ocupa o termo 1, o bloco “2,2” ocupa os termos 2 e 3, o bloco “3,3,3” ocupa 3,4,5 e assim por diante. Então, ao final do bloco k, já escrevemos termos.

Passo 3

Para achar Tk-1 < n ;<=; Tk , ou seja, o número que aparece na posição Tk-1 = (k-1)k2, Tk = k(k+1)2 , basta descobrir qual k satisfaz
Em outras palavras, cai dentro do bloco de comprimento .
Relembre que

Passo 4

Agora vem a parte de matemática “resolver desigualdade”:
(k-1)k2 < n <= k(k+1)2
Multiplicando tudo por 2, fica
(k-1)k < 2n <= k(k+1)
Sabendo que isso dá duas inequações quadráticas em k, podemos achar o valor “fracionário” de k em função de n usando a fórmula de Bhaskara:
k(k+1)=2n Longrightarrow k^2 + k - 2n = 0 Longrightarrow k = -1 pm raiz1 + 8n2
Como queremos a solução positiva e o menor inteiro que satisfaça k = lceil -1 + raiz1+8n2rceil , temos

Passo 5

Falta mostrar que esse mesmo k é
lfloor raiz2n + tfrac12rfloor
Para ver isso, observe:
  1. Defina k <= x < k+1 Longrightarrow k - tfrac12 <= raiz2n < k + tfrac12 .
  2. Se (k-tfrac12)^2 <= 2n < (k+tfrac12)^2 Longrightarrow k(k-1) < 2n <= k(k+1) , então
  3. Elevando ao quadrado (e tendo cuidado com os sinais), dá Voltando a dividir por 2, ficamos exatamente com
    ,
    ou seja, esse é o bloco onde cai.

Resposta

boxedan ;=;lfloor raiz2n ;+;12rfloor

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