Seja
o
-ésimo termo da sequência
, construída incluindo o inteiro
exatamente
vezes. Mostre que
.
Passo 1
Beleza! O enunciado diz que temos a sequência
1, 2,2, 3,3,3, 4,4,4,4, … onde cada inteiro k aparece k vezes. Chamamos de o n-ésimo termo dessa sequência.
Conteúdo: sequência e números triangulares, inversão de soma para achar k em função de n, uso de piso (⟂⟂⌊⋅⌋) e raiz quadrada.
O que precisamos:
1, 2,2, 3,3,3, 4,4,4,4, … onde cada inteiro k aparece k vezes. Chamamos de
Conteúdo: sequência e números triangulares, inversão de soma para achar k em função de n, uso de piso (⟂⟂⌊⋅⌋) e raiz quadrada.
O que precisamos:
- Entender que o total de termos até o k-ésimo bloco é um número triangular
. - Achar, dado um
, qual k satisfaz . - Resolver essa desigualdade usando raízes de equação quadrática e converter num piso de
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a teoria dos números triangulares.
Se eu somo 1 + 2 + … + k, o resultado é
Se eu somo 1 + 2 + … + k, o resultado é
Na nossa sequência, o bloco “1” ocupa o termo 1, o bloco “2,2” ocupa os termos 2 e 3, o bloco “3,3,3” ocupa 3,4,5 e assim por diante. Então, ao final do bloco k, já escrevemos
termos.
Passo 3
Para achar
, ou seja, o número que aparece na posição
, basta descobrir qual k satisfaz
Em outras palavras,
cai dentro do bloco de comprimento
.
Relembre que
Relembre que
Passo 4
Agora vem a parte de matemática “resolver desigualdade”:
Multiplicando tudo por 2, fica
Sabendo que isso dá duas inequações quadráticas em k, podemos achar o valor “fracionário” de k em função de n usando a fórmula de Bhaskara:
Como queremos a solução positiva e o menor inteiro que satisfaça
, temos
Passo 5
Falta mostrar que esse mesmo k é
Para ver isso, observe:
- Defina
. - Se
, então - Elevando ao quadrado (e tendo cuidado com os sinais), dá
Voltando a dividir por 2, ficamos exatamente com
,
ou seja, esseé o bloco onde cai.