Determine se cada um dos conjuntos descritos abaixo é finito ou infinito. No caso em que seja infinito, exiba uma família de elementos deste conjunto.
Exemplo: O conjunto dos x \in \mathbb{R} tais que x>2, é infinito, pois todo número da forma 2+k, onde k \in \mathbb{N} está neste conjunto, nos dando infinitos elementos.
(b) O conjunto de raízes complexas da equação x^{38}+55 x^{23}+40 x^{15}-2 x^{8}- x^{7}+3 x+1=0 ;

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos o conjunto
S = \{\,x\in\mathbb{C}\mid x^{38} + 55x^{23} + 40x^{15} - 2x^{8} - x^{7} + 3x + 1 = 0\}
e determinar se ele é finito ou infinito. O conteúdo de teoria que vamos usar é o Teorema Fundamental da Álgebra, que nos diz quantas raízes (no campo dos complexos) um polinômio de grau n pode ter.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, todo polinômio não-nulo de grau n em \mathbb{C}[x] possui exatamente n raízes contando multiplicidade (e, portanto, no máximo n raízes distintas). Aqui o polinômio
p(x) = x^{38} + 55x^{23} + 40x^{15} - 2x^{8} - x^{7} + 3x + 1
é de grau 38.

Passo 3

Como p(x) tem grau 38, o conjunto S de suas raízes complexas tem no máximo 38 elementos. Logo S é um conjunto finito.

Resposta

O conjunto é finito.

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