Determine se cada um dos conjuntos descritos abaixo é finito ou infinito. No caso em que seja infinito, exiba uma família de elementos deste conjunto.
Exemplo: O conjunto dos
tais que
, é infinito, pois todo número da forma
, onde
está neste conjunto, nos dando infinitos elementos.
(b) O conjunto de raízes complexas da equação
(b) O conjunto de raízes complexas da equação
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos o conjunto
e determinar se ele é finito ou infinito. O conteúdo de teoria que vamos usar é o Teorema Fundamental da Álgebra, que nos diz quantas raízes (no campo dos complexos) um polinômio de grau
pode ter.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, todo polinômio não-nulo de grau
em
possui exatamente
raízes contando multiplicidade (e, portanto, no máximo
raízes distintas). Aqui o polinômio
é de grau
.
Passo 3
Como
tem grau
, o conjunto
de suas raízes complexas tem no máximo
elementos. Logo
é um conjunto finito.
Resposta
O conjunto é finito.