Determine se cada um dos conjuntos descritos abaixo é finito ou infinito. No caso em que seja infinito, exiba uma família de elementos deste conjunto.
Exemplo: O conjunto dos
tais que
, é infinito, pois todo número da forma
, onde
está neste conjunto, nos dando infinitos elementos.
(e) O conjunto de círculos com centro na origem do plano cartesiano.
(e) O conjunto de círculos com centro na origem do plano cartesiano.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o conjunto de todos os círculos com centro na origem do plano cartesiano é finito ou infinito. Um círculo com centro na origem e raio
é dado por
com
. Para resolver, vamos analisar quantos valores de
distintos podem existir.
Passo 2
Cada escolha de
determina um círculo distinto. Como o conjunto
é infinito, segue que há infinitos círculos centrados na origem. Para exibir uma família explícita de elementos desse conjunto, basta escolher, por exemplo, todos os inteiros positivos como raios.
Resposta
O conjunto é infinito.
Uma família de círculos é, para cada , o círculo
Uma família de círculos é, para cada
Como existem infinitos
, obtemos infinitos círculos.