Utilize uma série de Maclaurin conhecida para obter a série de Maclaurin da função dada.
Dica: Use
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede: obter a série de Maclaurin (expansão em torno de
) da função . - Dado/ajuda: a identidade
. - Informação útil que vamos usar (já conhecida e permitida): a série de Maclaurin para
.
Passo 2
Lembrete rápido do que é a série de Maclaurin (para você não se perder): a série de Maclaurin de uma função
é a expansão em potências de
ao redor de
. Formalmente, quando existe,
Na prática, para funções trigonométricas usuais memoriza-se as séries principais — aqui vamos usar a de
porque a dica transforma
em função de
.
Passo 3
A série de Maclaurin conhecida para
(mostrando de onde vem cada termo) é
Explicando: só aparecem potências pares
porque
é uma função par; o sinal alterna por causa das derivadas de
; o denominador é
vindo da fórmula geral
.
Passo 4
Substituir
por
na série de
para obter a série de
. Fazendo isso:
Passo 5
Agora usar a identidade da dica:
Substituindo a série de
:
O termo
da soma é
, então
e a soma começa efetivamente em
. Reescrevendo a soma a partir de
e ajustando o sinal:
Multiplicando por
obtemos a forma geral da série de
:
Esse é o termo geral em potências pares
.
Passo 6
Vamos checar e escrever os primeiros termos explícitos (útil na prova para aproximações):
- Para
: coeficiente , termo . - Para
: coeficiente , termo . - Para
: coeficiente , termo . - Para
: coeficiente , termo .
Portanto, os primeiros termos da expansão são
Observação rápida: a série converge para todo
(raio de convergência infinito), já que vem da série de
.
Passo 7
Dicas práticas para a prova:
- Se precisar só de aproximação para
pequeno, basta manter ou mais termos se quiser maior precisão. - Memorize a forma geral que obtemos; às vezes é mais rápido aplicar
e substituir a série de do que derivar termos por derivadas repetidas.