Utilize uma série de Maclaurin conhecida para obter a série de Maclaurin da função dada.
f(x)=\operatorname{sen}^{2} x \quad\left[\right. Dica: Use \left.\operatorname{sen}^{2} x=\frac{1}{2}(1-\cos 2 x)\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: obter a série de Maclaurin (expansão em torno de 0) da função f(x)=\operatorname{sen}^{2}x.
  • Dado/ajuda: a identidade \operatorname{sen}^{2}x=\dfrac{1}{2}\bigl(1-\cos 2x\bigr).
  • Informação útil que vamos usar (já conhecida e permitida): a série de Maclaurin para \cos x.

Passo 2

Lembrete rápido do que é a série de Maclaurin (para você não se perder): a série de Maclaurin de uma função g(x) é a expansão em potências de x ao redor de 0. Formalmente, quando existe,
g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^{n}.
Na prática, para funções trigonométricas usuais memoriza-se as séries principais — aqui vamos usar a de \cos x porque a dica transforma \sin^2 x em função de \cos 2x.

Passo 3

A série de Maclaurin conhecida para \cos x (mostrando de onde vem cada termo) é
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}
Explicando: só aparecem potências pares x^{2n} porque \cos é uma função par; o sinal alterna por causa das derivadas de \cos; o denominador é (2n)! vindo da fórmula geral g^{(n)}(0)/n!.

Passo 4

Substituir x por 2x na série de \cos x para obter a série de \cos 2x. Fazendo isso:
\cos 2x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}.

Passo 5

Agora usar a identidade da dica:
\operatorname{sen}^{2}x=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos 2x\bigr).
Substituindo a série de \cos 2x:
\operatorname{sen}^{2}x=\tfrac{1}{2}\left(1-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}\right).
O termo n=0 da soma é 1, então 1-1=0 e a soma começa efetivamente em n=1. Reescrevendo a soma a partir de n=1 e ajustando o sinal:
1-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos a forma geral da série de \operatorname{sen}^{2}x:
\operatorname{sen}^{2}x=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}.
Esse é o termo geral em potências pares x^{2n}.

Passo 6

Vamos checar e escrever os primeiros termos explícitos (útil na prova para aproximações):
  • Para n=1: coeficiente (-1)^{2}\dfrac{2^{1}}{2!}=1, termo \;x^{2}.
  • Para n=2: coeficiente (-1)^{3}\dfrac{2^{3}}{4!}=-\dfrac{8}{24}=-\dfrac{1}{3}, termo -\dfrac{1}{3}x^{4}.
  • Para n=3: coeficiente (-1)^{4}\dfrac{2^{5}}{6!}=+\dfrac{32}{720}=\dfrac{2}{45}, termo +\dfrac{2}{45}x^{6}.
  • Para n=4: coeficiente (-1)^{5}\dfrac{2^{7}}{8!}=-\dfrac{128}{40320}=-\dfrac{1}{315}, termo -\dfrac{1}{315}x^{8}.
Portanto, os primeiros termos da expansão são
\operatorname{sen}^{2}x=x^{2}-\tfrac{1}{3}x^{4}+\tfrac{2}{45}x^{6}-\tfrac{1}{315}x^{8}+\cdots.
Observação rápida: a série converge para todo x (raio de convergência infinito), já que vem da série de \cos.

Passo 7

Dicas práticas para a prova:
  • Se precisar só de aproximação para x pequeno, basta manter x^{2} ou mais termos se quiser maior precisão.
  • Memorize a forma geral que obtemos; às vezes é mais rápido aplicar \operatorname{sen}^{2}x=\tfrac{1}{2}(1-\cos 2x) e substituir a série de \cos do que derivar termos por derivadas repetidas.

Resposta

\operatorname{sen}^{2}x=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}
\operatorname{sen}^{2}x=x^{2}-\tfrac{1}{3}x^{4}+\tfrac{2}{45}x^{6}-\tfrac{1}{315}x^{8}+\cdots

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