Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como sendo absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações relevantes do enunciado:
- O termo geral é
. - Para todo
, (portanto testar convergência simples já decide sobre convergência absoluta).
A partir daqui precisamos testar a convergência da série de termos positivos.
Passo 2
Breve teoria necessária (explicada devagar):
- Se a série
converge, a série original é chamada absolutamente convergente. Se diverge mas converge, diz-se condicionalmente convergente. Mas quando todos os são não negativos, temos , logo “convergência” implica “convergência absoluta”. Ou seja, aqui basta mostrar que converge. - Teste da raiz (uma ferramenta muito útil): para uma série
, se existir
então
- se
a série converge absolutamente; - se
a série diverge; - se
o teste é inconclusivo.
Vou aplicar esse teste porque a potência
sugere que
simplifica bem.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz ao termo
.
Calculemos :
Calculemos
Agora precisamos do limite
Observe que
Um limite padrão é
. Fazendo a substituição
obtemos
Portanto removendo um fator (passando de
para
) também temos
Logo o valor do teste da raiz é
Como
, pelo teste da raiz a série
converge absolutamente.
Passo 4
(Aqui faço um desenvolvimento extra, para você ver a intuição assintótica e aprender outra técnica útil — não é necessário para concluir, mas ajuda a entender o comportamento dos termos.)
Quero mostrar que
decai aproximadamente como
para alguma constante
. Considere o logaritmo:
Usando a expansão em série de Taylor para
com
(válida para
pequeno):
Multiplicando por
e lembrando que
, calcula-se
Note que
, portanto
Assim
Isso mostra que
é equivalente a uma constante vezes
. Como a série geométrica
converge (razão
), pela comparação limite (ou teste da comparação limite)
conclui-se novamente que
converge. Essa é uma confirmação extra da conclusão do teste da raiz.
Passo 5
Conclusão final e palavra de incentivo: a série converge, e como os termos são não negativos isso equivale a convergência absoluta. Mandou bem em trazer esse exercício — ele é ótimo para treinar o teste da raiz e estimativas assintóticas. Vai dar certo na prova!
Resposta
absolutamente convergente