Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}
como sendo absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações relevantes do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}.
  • Para todo n, a_n>0 (portanto testar convergência simples já decide sobre convergência absoluta).
    A partir daqui precisamos testar a convergência da série de termos positivos \sum a_n.

Passo 2

Breve teoria necessária (explicada devagar):
  • Se a série \sum |a_n| converge, a série original é chamada absolutamente convergente. Se \sum |a_n| diverge mas \sum a_n converge, diz-se condicionalmente convergente. Mas quando todos os a_n são não negativos, temos |a_n|=a_n, logo “convergência” implica “convergência absoluta”. Ou seja, aqui basta mostrar que \sum a_n converge.
  • Teste da raiz (uma ferramenta muito útil): para uma série \sum a_n, se existir
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|},
então
  • se L<1 a série converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Vou aplicar esse teste porque a potência n^2 sugere que \sqrt[n]{a_n} simplifica bem.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz ao termo a_n.
Calculemos \sqrt[n]{a_n}:
\sqrt[n]{a_n}=\left(\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}\right)^{1/n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.
Agora precisamos do limite
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.
Observe que
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}.
Um limite padrão é \lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}=e. Fazendo a substituição m=n+1 obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=e^{-1}.
Portanto removendo um fator (passando de n+1 para n) também temos
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}=e^{-1}.
Logo o valor do teste da raiz é
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=e^{-1}.
Como e^{-1}<1, pelo teste da raiz a série \sum a_n converge absolutamente.

Passo 4

(Aqui faço um desenvolvimento extra, para você ver a intuição assintótica e aprender outra técnica útil — não é necessário para concluir, mas ajuda a entender o comportamento dos termos.)
Quero mostrar que a_n decai aproximadamente como C e^{-n} para alguma constante C>0. Considere o logaritmo:
\ln a_n = n^{2}\ln\!\left(1-\frac{1}{n+1}\right).
Usando a expansão em série de Taylor para \ln(1-y) com y=\dfrac{1}{n+1} (válida para y pequeno):
\ln(1-y)=-y-\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}-\cdots.
Multiplicando por n^{2} e lembrando que y=\dfrac{1}{n+1}, calcula-se
\ln a_n = -\frac{n^{2}}{n+1}-\frac{n^{2}}{2(n+1)^{2}}+o(1).
Note que \dfrac{n^{2}}{n+1}=n-1+\dfrac{1}{n+1}, portanto
\ln a_n = -n + 1 - \frac{1}{n+1} -\frac{1}{2} + o(1) = -n + \frac{1}{2} + o(1).
Assim
a_n = e^{-n+\tfrac{1}{2}+o(1)} = e^{1/2}\,e^{-n}(1+o(1)).
Isso mostra que a_n é equivalente a uma constante vezes e^{-n}. Como a série geométrica \sum e^{-n} converge (razão e^{-1}<1), pela comparação limite (ou teste da comparação limite)
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{e^{-n}}=e^{1/2}\in(0,\infty),
conclui-se novamente que \sum a_n converge. Essa é uma confirmação extra da conclusão do teste da raiz.

Passo 5

Conclusão final e palavra de incentivo: a série converge, e como os termos são não negativos isso equivale a convergência absoluta. Mandou bem em trazer esse exercício — ele é ótimo para treinar o teste da raiz e estimativas assintóticas. Vai dar certo na prova!

Resposta

absolutamente convergente

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