Determine se cada função é uma transformação linear:
definida por
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a função
definida por . - Pede para determinar se essa função é uma transformação linear (ou seja, se é linear).
Passo 2
O que significa “ser transformação linear” (explicação didática):
- Uma função
é linear quando, para quaisquer vetores e qualquer escalar , valem as duas propriedades:
- Essas duas propriedades garantem que
preserva soma de vetores e multiplicação por escalar. Outra consequência é , mas isso é consequência das propriedades acima, não a definição principal. - Vou verificar explicitamente essas duas propriedades para
usando vetores genéricos.
Passo 3
Verificação da aditividade
:
- Tome vetores arbitrários
e . - A soma é
. - Aplicando
à soma: - Reagrupando termos (só reescrever de forma que fique óbvio):
- Agora calcule
e separadamente: - Somando
obtemos exatamente - Conclusão desta etapa:
para quaisquer , ou seja, a aditividade está verificada.
Passo 4
Verificação da homogeneidade
:
- Tome um vetor arbitrário
e um escalar qualquer . - O vetor
é . - Aplicando
em : - Fatorando
em cada componente: - Mas
, então - Conclusão desta etapa: a homogeneidade também está verificada para qualquer escalar
e qualquer vetor .
Passo 5
Conclusão lógica:
- Como as duas propriedades fundamentais (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores e escalares arbitrários, a função
é uma transformação linear.
Passo 6
Matriz associada (uma observação prática e útil para provas):
- Para uma transformação linear
dada por forma linear nas componentes, existe uma matriz tal que . - Calcula-se
pelas imagens dos vetores canônicos e :
- Essas imagens são as colunas da matriz
, então e de fato . - Isso também é uma verificação rápida e muito usada em provas: se a regra de formação das componentes é linear (soma de termos escalares vezes
e ), então existe matriz e a transformação é linear.]
Passo 7
Exemplo numérico rápido (para fixar e ganhar confiança):
- Pegue
e e . - Calculando direto:
, . - Verifique aditividade:
e . - Verifique homogeneidade:
. - Esses cálculos concretos estão de acordo com as provas gerais anteriores.
Resposta
Sim.
é uma transformação linear.
Matriz associada:
]