Determine se cada função é uma transformação linear:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y)=(x+y, 2 x-y)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a função T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por T(x,y)=(x+y,\,2x-y).
  • Pede para determinar se essa função é uma transformação linear (ou seja, se é linear).

Passo 2

O que significa “ser transformação linear” (explicação didática):
  • Uma função T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear quando, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades: T(u+v)=T(u)+T(v)
T(cu)=c\,T(u).
  • Essas duas propriedades garantem que T preserva soma de vetores e multiplicação por escalar. Outra consequência é T(0)=0, mas isso é consequência das propriedades acima, não a definição principal.
  • Vou verificar explicitamente essas duas propriedades para T usando vetores genéricos.

Passo 3

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v):
  • Tome vetores arbitrários u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2).
  • A soma é u+v=(x_1+x_2,\,y_1+y_2).
  • Aplicando T à soma: T(u+v)=\bigl((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)\bigr).
  • Reagrupando termos (só reescrever de forma que fique óbvio): T(u+v)=\bigl((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;(2x_1-y_1)+(2x_2-y_2)\bigr).
  • Agora calcule T(u) e T(v) separadamente: T(u)=(x_1+y_1,\;2x_1-y_1),\qquad T(v)=(x_2+y_2,\;2x_2-y_2).
  • Somando T(u)+T(v) obtemos exatamente T(u)+T(v)=\bigl((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;(2x_1-y_1)+(2x_2-y_2)\bigr).
  • Conclusão desta etapa: T(u+v)=T(u)+T(v) para quaisquer u,v, ou seja, a aditividade está verificada.

Passo 4

Verificação da homogeneidade T(cu)=c\,T(u):
  • Tome um vetor arbitrário u=(x_1,y_1) e um escalar qualquer c\in\mathbb{R}.
  • O vetor cu é (c x_1,\,c y_1).
  • Aplicando T em cu: T(cu)=\bigl(c x_1 + c y_1,\;2(c x_1) - c y_1\bigr).
  • Fatorando c em cada componente: T(cu)=\bigl(c(x_1+y_1),\;c(2x_1-y_1)\bigr)=c\,(x_1+y_1,\;2x_1-y_1).
  • Mas (x_1+y_1,\;2x_1-y_1)=T(u), então T(cu)=c\,T(u).
  • Conclusão desta etapa: a homogeneidade também está verificada para qualquer escalar c e qualquer vetor u.

Passo 5

Conclusão lógica:
  • Como as duas propriedades fundamentais (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores e escalares arbitrários, a função T é uma transformação linear.

Passo 6

Matriz associada (uma observação prática e útil para provas):
  • Para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por forma linear nas componentes, existe uma matriz A tal que T(v)=A v.
  • Calcula-se A pelas imagens dos vetores canônicos e_1=(1,0) e e_2=(0,1): T(e_1)=T(1,0)=(1+0,\,2\cdot1-0)=(1,2),
T(e_2)=T(0,1)=(0+1,\,2\cdot0-1)=(1,-1).
  • Essas imagens são as colunas da matriz A, então A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix},e de fato T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.
  • Isso também é uma verificação rápida e muito usada em provas: se a regra de formação das componentes é linear (soma de termos escalares vezes x e y), então existe matriz e a transformação é linear.]

Passo 7

Exemplo numérico rápido (para fixar e ganhar confiança):
  • Pegue u=(2,1) e v=(1,3) e c=4.
  • Calculando direto: T(u)=(2+1,\,4-1)=(3,3), T(v)=(1+3,\,2-3)=(4,-1).
  • Verifique aditividade: T(u+v)=T(3,4)=(7,5) e T(u)+T(v)=(3,3)+(4,-1)=(7,5).
  • Verifique homogeneidade: T(4u)=T(8,4)=(12,12)=4\cdot(3,3)=4T(u).
  • Esses cálculos concretos estão de acordo com as provas gerais anteriores.

Resposta

Sim. T é uma transformação linear.
Matriz associada: \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}]

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