Considere o operador linear T: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) definido por T(p(x))=\int_{0}^{x} p(t) d t. Encontre a matriz de T em relação às bases canônicas B_{1}=\left\{1, x, x^{2}\right\} de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e B_{2}=\left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\} de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Passo 1
O problema pede explicitamente: encontrar a matriz do operador linear T:\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) dado por
O domínio é \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau \le 2) com base B_{1}.
O contradomínio é \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) (polinômios de grau \le 3) com base B_{2}.
O operador é integração de 0 até x: para cada polinômio p calcula-se \int_{0}^{x} p(t)\,dt.
O que precisa ser devolvido: a matriz de T cujas colunas correspondem às coordenadas, na base B_{2}, das imagens T(1),T(x),T(x^{2}).
Passo 2
Como montar a matriz de um operador linear entre espaços com bases fixas (a ideia, devagarinho):
Seja v_{1},v_{2},\dots,v_{n} a base do espaço de partida e w_{1},\dots,w_{m} a base do espaço de chegada.
Para cada base v_{j} aplica-se o operador e escreve-se T(v_{j}) como combinação linear das bases w_{i}:
T(v_{j}) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij}\, w_{i}.
A matriz de T (na ordem das bases dadas) tem como j-ésima coluna o vetor coluna (a_{1j},a_{2j},\dots,a_{mj})^{T}.
Aqui, v_{1}=1,\\ v_{2}=x,\\ v_{3}=x^{2} e w_{1}=1,\\ w_{2}=x,\\ w_{3}=x^{2},\\ w_{4}=x^{3}. Portanto vou calcular T(1),T(x),T(x^{2}) e escrever cada um na base B_{2}.
Passo 3
Calcular T(1):
Integramos a função constante 1:
T(1)=\int_{0}^{x} 1\,dt = x.
Escrever x como combinação das bases de B_{2}:
x = 0\cdot 1 + 1\cdot x + 0\cdot x^{2} + 0\cdot x^{3}.
Logo a coordenada de T(1) na base B_{2} é o vetor coluna
Montar a matriz juntando as colunas encontradas (na ordem 1,x,x^{2} do domínio). Assim a matriz de T relativa às bases B_{1} (domínio) e B_{2} (codomínio) é a matriz 4\times 3 cujas colunas são os vetores calculados:
que corresponde ao polinômio a x + \dfrac{b}{2}x^{2} + \dfrac{c}{3}x^{3}, isto é exatamente \int_{0}^{x} (a+bt+ct^{2})\,dt. Perfeito — a matriz está correta.]