Considere o operador linear T: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) definido por T(p(x))=\int_{0}^{x} p(t) d t. Encontre a matriz de T em relação às bases canônicas B_{1}=\left\{1, x, x^{2}\right\} de \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e B_{2}=\left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\} de \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).

Passo 1

O problema pede explicitamente: encontrar a matriz do operador linear T:\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) dado por
T(p(x))=\int_{0}^{x} p(t)\,dt,
em relação às bases canônicas
B_{1}=\{1,x,x^{2}\}\quad\text{de }\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})
e
B_{2}=\{1,x,x^{2},x^{3}\}\quad\text{de }\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
Informações relevantes fornecidas:
  • O domínio é \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau \le 2) com base B_{1}.
  • O contradomínio é \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) (polinômios de grau \le 3) com base B_{2}.
  • O operador é integração de 0 até x: para cada polinômio p calcula-se \int_{0}^{x} p(t)\,dt.
    O que precisa ser devolvido: a matriz de T cujas colunas correspondem às coordenadas, na base B_{2}, das imagens T(1),T(x),T(x^{2}).

Passo 2

Como montar a matriz de um operador linear entre espaços com bases fixas (a ideia, devagarinho):
  • Seja v_{1},v_{2},\dots,v_{n} a base do espaço de partida e w_{1},\dots,w_{m} a base do espaço de chegada.
  • Para cada base v_{j} aplica-se o operador e escreve-se T(v_{j}) como combinação linear das bases w_{i}:
T(v_{j}) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij}\, w_{i}.
  • A matriz de T (na ordem das bases dadas) tem como j-ésima coluna o vetor coluna (a_{1j},a_{2j},\dots,a_{mj})^{T}.
    Aqui, v_{1}=1,\\ v_{2}=x,\\ v_{3}=x^{2} e w_{1}=1,\\ w_{2}=x,\\ w_{3}=x^{2},\\ w_{4}=x^{3}. Portanto vou calcular T(1),T(x),T(x^{2}) e escrever cada um na base B_{2}.

Passo 3

Calcular T(1):
  • Integramos a função constante 1:
T(1)=\int_{0}^{x} 1\,dt = x.
  • Escrever x como combinação das bases de B_{2}:
x = 0\cdot 1 + 1\cdot x + 0\cdot x^{2} + 0\cdot x^{3}.
  • Logo a coordenada de T(1) na base B_{2} é o vetor coluna
\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular T(x):
  • Integramos x:
T(x)=\int_{0}^{x} t\,dt = \frac{x^{2}}{2}.
  • Escrever \dfrac{x^{2}}{2} na base B_{2}:
\frac{x^{2}}{2} = 0\cdot 1 + 0\cdot x + \tfrac{1}{2}\cdot x^{2} + 0\cdot x^{3}.
  • Portanto a coordenada de T(x) na base B_{2} é
\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular T(x^{2}):
  • Integramos x^{2}:
T(x^{2})=\int_{0}^{x} t^{2}\,dt = \frac{x^{3}}{3}.
  • Escrever \dfrac{x^{3}}{3} na base B_{2}:
\frac{x^{3}}{3} = 0\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^{2} + \tfrac{1}{3}\cdot x^{3}.
  • A coordenada de T(x^{2}) na base B_{2} é
\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Montar a matriz juntando as colunas encontradas (na ordem 1,x,x^{2} do domínio). Assim a matriz de T relativa às bases B_{1} (domínio) e B_{2} (codomínio) é a matriz 4\times 3 cujas colunas são os vetores calculados:
[T]_{B_{2},B_{1}}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (para ficar seguro e aprender a usar a matriz na prova):
  • Se p(x)=a+bx+cx^{2}, o vetor de coordenadas em B_{1} é \begin{pmatrix}a\\[4pt]b\\[4pt]c\end{pmatrix}.
  • Multiplicando pela matriz acima obtém-se
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt]b\\[4pt]c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[4pt] a\\[4pt] \tfrac{b}{2}\\[4pt] \tfrac{c}{3} \end{pmatrix},
que corresponde ao polinômio a x + \dfrac{b}{2}x^{2} + \dfrac{c}{3}x^{3}, isto é exatamente \int_{0}^{x} (a+bt+ct^{2})\,dt. Perfeito — a matriz está correta.]

Resposta

[T]_{B_{2},B_{1}}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados