Determine se cada função é uma transformação linear:
definida por
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação
definida por
O que se pede: determinar se
é uma transformação linear (ou seja, se satisfaz as duas propriedades exigidas para linearidade).
Informações relevantes:
- O domínio
é o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . - Para um polinômio genérico
podemos escrevê‑lo como com . - A regra de
é avaliar o polinômio no ponto : pega o valor numérico .
Passo 2
Lembrete (definição de transformação linear) — o que precisamos verificar:
- Uma aplicação
é linear se, para todos e todo escalar , valem as duas propriedades:
Explicando as fórmulas:
é o polinômio obtido somando coeficiente a coeficiente;
é o polinômio obtido multiplicando todos os coeficientes de
por
. Temos que mostrar que avaliar em
respeita essas operações.
Passo 3
Verificação da aditividade
.
Escrevamos dois polinômios genéricos
com
. Então
Avaliar em
dá
Por outro lado,
logo
Comparando as expressões obtemos
Passo 4
Verificação da homogeneidade
.
Usando
e um escalar
, temos
Avaliar em
dá
Mas
. Portanto
Passo 5
Resumo das verificações: foi mostrado explicitamente que tanto a aditividade quanto a homogeneidade valem para todos
e todo
. Essas duas propriedades são exatamente as condições necessárias e suficientes para
ser linear.
Passo 6
Algumas observações extras (úteis para a prova, mas não exigidas pelo enunciado):
- Representação em coordenadas: na base canônica
, um polinômio tem vetor de coeficientes se quiser ordem . A aplicação envia esse vetor no escalar , portanto a matriz linha que representa nessa base é (ou seja, soma dos coeficientes). - Núcleo e imagem:
(os polinômios que têm como raiz, i.e., coeficientes somando zero). A imagem , pois todo valor real é atingido por com o polinômio constante .
Resposta
Sim.
é uma transformação linear.