Determine se cada função é uma transformação linear:
T: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} definida por T(p)=p(1)

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação T:\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R} definida por
T(p)=p(1).
O que se pede: determinar se T é uma transformação linear (ou seja, se satisfaz as duas propriedades exigidas para linearidade).
Informações relevantes:
  • O domínio \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2.
  • Para um polinômio genérico p\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) podemos escrevê‑lo como p(x)=ax^{2}+bx+c com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • A regra de T é avaliar o polinômio no ponto x=1: pega o valor numérico p(1)\in\mathbb{R}.

Passo 2

Lembrete (definição de transformação linear) — o que precisamos verificar:
  • Uma aplicação T é linear se, para todos p,q\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(p+q)=T(p)+T(q),
T(\alpha p)=\alpha\,T(p).
Explicando as fórmulas: p+q é o polinômio obtido somando coeficiente a coeficiente; \alpha p é o polinômio obtido multiplicando todos os coeficientes de p por \alpha. Temos que mostrar que avaliar em 1 respeita essas operações.

Passo 3

Verificação da aditividade T(p+q)=T(p)+T(q).
Escrevamos dois polinômios genéricos
p(x)=ax^{2}+bx+c,\qquad q(x)=dx^{2}+ex+f,
com a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R}. Então
(p+q)(x)=(a+d)x^{2}+(b+e)x+(c+f).
Avaliar em 1
T(p+q)=(p+q)(1)=(a+d)+(b+e)+(c+f).
Por outro lado,
T(p)=p(1)=a+b+c,\qquad T(q)=q(1)=d+e+f,
logo
T(p)+T(q)=(a+b+c)+(d+e+f)=(a+d)+(b+e)+(c+f).
Comparando as expressões obtemos
T(p+q)=T(p)+T(q).

Passo 4

Verificação da homogeneidade T(\alpha p)=\alpha\,T(p).
Usando p(x)=ax^{2}+bx+c e um escalar \alpha\in\mathbb{R}, temos
(\alpha p)(x)=\alpha a x^{2}+\alpha b x+\alpha c.
Avaliar em 1
T(\alpha p)=(\alpha p)(1)=\alpha a+\alpha b+\alpha c=\alpha\,(a+b+c).
Mas a+b+c=p(1)=T(p). Portanto
T(\alpha p)=\alpha\,T(p).

Passo 5

Resumo das verificações: foi mostrado explicitamente que tanto a aditividade quanto a homogeneidade valem para todos p,q\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e todo \alpha\in\mathbb{R}. Essas duas propriedades são exatamente as condições necessárias e suficientes para T ser linear.

Passo 6

Algumas observações extras (úteis para a prova, mas não exigidas pelo enunciado):
  • Representação em coordenadas: na base canônica \{1,x,x^{2}\}, um polinômio p(x)=ax^{2}+bx+c tem vetor de coeficientes \begin{pmatrix}c\b\a\end{pmatrix} se quiser ordem (1,x,x^{2}). A aplicação T envia esse vetor no escalar a+b+c, portanto a matriz linha que representa T nessa base é \begin{pmatrix}1 & 1 & 1\end{pmatrix} (ou seja, soma dos coeficientes).
  • Núcleo e imagem: \ker(T)=\{p\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}):p(1)=0\} (os polinômios que têm x=1 como raiz, i.e., coeficientes somando zero). A imagem \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}, pois todo valor real r é atingido por T com o polinômio constante p(x)=r.

Resposta

Sim. T é uma transformação linear.

Exercícios relacionados