Para cada transformação linear, encontre o núcleo (kernel) e a imagem:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y, z)=(x+y+z, 2 x+2 y+2 z, 3 x+3 y+3 z)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z) = (x+y+z,\; 2x+2y+2z,\; 3x+3y+3z).
O que se pede:
  • Encontrar o núcleo (kernel) de T, ou seja o conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=0\}.
  • Encontrar a imagem (range) de T, ou seja o subespaço de \mathbb{R}^3 formado pelos vetores que aparecem como T(v) para algum v\in\mathbb{R}^3.
As informações relevantes dadas no enunciado são exatamente a fórmula acima para T(x,y,z).

Passo 2

Primeiro uma palavrinha didática sobre o que vamos fazer (passo a passo, tipo mapa de caça ao tesouro):
  • O núcleo é a solução do sistema linear T(x,y,z)=0. Isso equivale a resolver o sistema matricial A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, onde A é a matriz que representa T na base canônica.
  • A imagem é o espaço gerado pelas colunas da matriz A (cada coluna é T aplicado a um vetor da base canônica). Então vamos escrever a matriz e olhar suas colunas.

Passo 3

Escrevendo a matriz A de T na base canônica:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 2\\[4pt] 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}.
Cada coluna é T aplicado aos vetores básicos:
T(1,0,0)=(1,2,3),\qquad T(0,1,0)=(1,2,3),\qquad T(0,0,1)=(1,2,3).
Logo as três colunas são idênticas, iguais ao vetor (1,2,3).]

Passo 4

Encontrando a imagem: como as colunas são todas o mesmo vetor, o espaço gerado por elas é simplesmente a reta gerada por esse vetor. Portanto
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,2,3)\}.
Isto tem dimensão 1. Uma base conveniente para a imagem é \{(1,2,3)\}.

Passo 5

Agora o núcleo: precisamos resolver
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
isto é o sistema
\begin{cases} x+y+z=0,\\[4pt] 2x+2y+2z=0,\\[4pt] 3x+3y+3z=0. \end{cases}
Mas as três equações são múltiplos umas das outras (a segunda é 2 vezes a primeira, a terceira é 3 vezes a primeira). Portanto existe apenas uma equação independente:
x+y+z=0.
Isso significa que o núcleo é o plano de \mathbb{R}^3 definido por essa equação.]

Passo 6

Para expressar o núcleo em forma de base, parametrize a solução. Tome x=s e y=t como parâmetros livres; então
z = -x-y = -s-t.
Assim
(x,y,z) = (s,t,-s-t) = s(1,0,-1) + t(0,1,-1).
Portanto um conjunto gerador (na verdade base) do núcleo é \{(1,0,-1),\,(0,1,-1)\}. Como esses dois vetores são linearmente independentes, a dimensão do núcleo é 2.

Passo 7

Verificação rápida pelo teorema posto-nulo (rank-nullity): \dim(\operatorname{Im}(T))=1 e \dim(\ker T)=2, soma 1+2=3, que é a dimensão do domínio \mathbb{R}^3. Está consistente.

Resposta

\ker T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=0\}=\operatorname{span}\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(1,2,3)\}

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