Determine se cada uma das funções abaixo é diferenciável no ponto

Passo 1

O enunciado nos dá a função
e pede para verificar se ela é diferenciável em e depois comparar as derivadas laterais em .

Passo 2

Verificamos a continuidade em x=0. Calculamos
limxto0^-f(x) =limxto0^-(1 - x) =1 e limxto0^+f(x) =limxto0^+1 =1
Além disso, pelo ramo para x<=0 temos f(0)=1-0=1. Como os limites laterais e f(0) coincidem, f é contínua em 0.

Passo 3

Calculamos a derivada lateral à esquerda em 0 usando a definição
f'(0^-) =limhto0^-f(0+h)-f(0)h =limhto0^-l(1-(0+h)r)-1h =limhto0^--hh =-1

Passo 4

Calculamos a derivada lateral à direita em 0:
f'(0^+) =limhto0^+f(0+h)-f(0)h =limhto0^+1-1h =limhto0^+0 =0

Passo 5

Como f'(0^-)= -1 e f'(0^+)=0, as derivadas laterais não coincidem. Logo, a derivada de f em 0 não existe.

Resposta

A função f não é diferenciável em x0=0.

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