Determine se cada uma das funções a seguir é par, ímpar ou nem par, nem ímpar:
x(t)=\left|t^{3}\right|

Passo 1

O enunciado dá a função x(t)=\left|t^{3}\right| e pede para determinar se ela é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Informações fornecidas:
  • A função é x(t)=\left|t^{3}\right|.
  • A tarefa é classificar a função quanto à paridade (par, ímpar ou nenhuma das duas).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as definições (explicadas de forma bem simples):
  • Uma função x(t) é par se, para todo t no domínio, valer
x(-t)=x(t).
Isto significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical.
  • Uma função x(t) é ímpar se, para todo t no domínio, valer
x(-t)=-x(t).
Isto significa que o gráfico é simétrico em relação à origem.
Essas definições são testes diretos: basta calcular x(-t) e comparar com x(t) e com -x(t).

Passo 3

Vamos calcular x(-t) usando a função dada. Usamos a propriedade básica do valor absoluto: para qualquer número real a e qualquer inteiro positivo n vale |a^n|=|a|^n. Em particular, para n=3 temos |a^3|=|a|^3. Aplicando isso:
x(-t)=\left|(-t)^{3}\right|.
Agora simplificamos o expoente:
(-t)^{3}=-(t^{3}),
portanto
x(-t)=\left|-(t^{3})\right|=\left|t^{3}\right|.
Como \left|t^{3}\right|=x(t), concluímos que, para todo t,
x(-t)=x(t).
Um comentário numérico rápido para fixar a ideia: para t=2 temos x(2)=|2^{3}|=|8|=8 e para t=-2 temos x(-2)=|(-2)^{3}|=|-8|=8. São iguais — típico de uma função par.

Passo 4

Pelo cálculo acima x(-t)=x(t) para todo t. Isso satisfaz exatamente a definição de função par, então x(t) é par.
Só para confirmar que não é ímpar: se a função fosse ímpar deveríamos ter x(-t)=-x(t). Mas como já vimos x(-t)=x(t), isso implicaria x(t)=-x(t) para todo t, ou seja 2x(t)=0 para todo t, logo x(t)=0 para todo t. Isso é falso (por exemplo x(1)=1\neq0). Portanto não é ímpar.

Resposta

par

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