Questão 3 (3 pts)
Considere a equação diferencial
- (
) Aplique o método de resolução por séries de potências para achar uma fórmula de recorrência para os coeficientes de uma solução
- (1 pt) Mostre que existem soluções polinomiais. em série.
- (
) Qual é o raio de convergência das soluções?
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede três coisas:
- (1,5 pt) aplicar o método de séries de potências e achar uma fórmula de recorrência para os coeficientes de uma solução em série;
- (1,0 pt) mostrar que existem soluções polinomiais (ou seja, que alguma solução em série é, na verdade, um polinômio);
- (0,5 pt) indicar o raio de convergência das soluções em série.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em torno de
(pois e e são polinomiais). - Não há condições iniciais específicas fornecidas, então ao procurar uma solução em série teremos dois coeficientes iniciais livres (os parâmetros da solução geral).
Passo 2
Começo supondo uma solução em série de potências centrada em
. Isso significa assumir que
onde os
são constantes a determinar. Essa é a hipótese padrão do método de séries de potências: cada solução procurada é escrita como soma infinita de potências de
.
Agora escrevo as derivadas (sempre com
em TeX):
Explanação curta: a derivada de
é
e a segunda derivada é
. Essas expressões valem para os índices mostrados (começam em
ou
porque para termos menores o coeficiente é zero).
Passo 3
Substituo essas séries na equação
. Primeiro calculo
:
Em seguida, escrevo
e
:
Passo 4
Agora coloco todas as somas com a mesma potência
. Para a primeira soma de
faço mudança de índice: na soma
ponho
, logo
. Obtenho
As outras somas já estão em potências
; para uniformizar renomeio índices todas para
. Assim a equação inteira fica
Passo 5
Para combinar as somas eu quero uma única soma em
com índices começando em
. Note que a segunda soma começa em
e a terceira em
; mas posso estender essas somas para começar em
se lembrar que os termos
e
dessas somas são nulos (pois envolvem fatores
ou
). Então posso escrever, para todo
,
Aqui agrupei os coeficientes que multiplicam
vindos das três somas correspondentes às potências
. Agora simplifico o parêntese:
Portanto a relação queda-se elegante:
Passo 6
Isolo
para ter a fórmula de recorrência explícita:
Comentário didático: essa fórmula diz que cada coeficiente com índice de paridade igual a
determina o coeficiente dois índices mais à frente. Ou seja, os coeficientes se separam em duas sequências independentes:
- os
(mesma paridade de ), determinados por ; - os
(mesma paridade de ), determinados por .
Como é equação de segunda ordem, faz sentido ter dois parâmetros livres:
e
. A solução geral em série será combinação linear da solução par (iniciada por
) e da solução ímpar (iniciada por
).
Passo 7
Agora explicitamente mostro alguns coeficientes para entender o comportamento (isso ajuda na prova e na prática em prova):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esses cálculos mostram que a sequência ímpar tem um corte imediato:
. Pelo próprio formato da recorrência, se
então
(que é proporcional a
) também será zero, e assim por diante. Vou demonstrar isso formalmente no próximo passo.
Passo 8
Provo que existe solução polinomial. Tome
arbitrário e
(ou apenas foque na sequência ímpar). Usando a recorrência com
obtivemos
. Para
a recorrência dá
Por indução, se
então
. Como
então todos os
para
. Logo a série ímpar truncou: os únicos coeficientes ímpares possíveis são
(livre) e depois todos nulos. Portanto a solução ímpar é simplesmente
que é um polinômio de grau
. De fato, pode-se verificar diretamente substituindo
na equação:
Portanto
é solução — é o polinômio que mostramos existir.
Quanto à sequência par iniciada por
, os coeficientes não se anulam automaticamente (porque o numerador
só é zero para
). Assim a solução par é, em geral, uma série infinita (não um polinómio), por exemplo com primeiros termos
Resumo: existe pelo menos uma solução polinomial não-trivial:
(com
constante). A outra solução típica é uma série infinita par determinada por
.
Passo 9
Determino agora o raio de convergência das séries solução. Existem duas maneiras simples e clássicas de ver isso:
-
Pelo critério de singularidades da equação linear: o coeficiente do termo de maior derivada (aqui
multiplicando ) tem zeros em . Esses são pontos singulares da equação no plano complexo. O raio de convergência da série centrada em é, no máximo, a distância até a singularidade complexa mais próxima, que é . Portanto o raio de convergência é . -
Alternativamente vê-se pela recorrência assintótica: para grandes
temos
ou seja, os coeficientes não decaem mais rápido do que uma sequência com razão aproximadamente
, o que também leva a raio de convergência
pela razão de Cauchy-Hadamard. Ambas as abordagens confirmam o mesmo resultado.
Conclui-se: o raio de convergência das séries soluções centradas em
é
.
Resposta
Existe solução polinomial:
(escolhendo
e
).
O raio de convergência das soluções em série centradas em é
.
O raio de convergência das soluções em série centradas em