Questão 3 (3 pts)

Considere a equação diferencial
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0
  1. ( 1,5 \mathrm{pts} ) Aplique o método de resolução por séries de potências para achar uma fórmula de recorrência para os coeficientes de uma solução
  2. (1 pt) Mostre que existem soluções polinomiais. em série.
  3. ( 0,5 \mathrm{pts} ) Qual é o raio de convergência das soluções?

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(1+x^{2})y''-x y'+y=0
e pede três coisas:
  • (1,5 pt) aplicar o método de séries de potências e achar uma fórmula de recorrência para os coeficientes de uma solução em série;
  • (1,0 pt) mostrar que existem soluções polinomiais (ou seja, que alguma solução em série é, na verdade, um polinômio);
  • (0,5 pt) indicar o raio de convergência das soluções em série.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes analíticos em torno de x=0 (pois 1+x^{2} e -x e 1 são polinomiais).
  • Não há condições iniciais específicas fornecidas, então ao procurar uma solução em série teremos dois coeficientes iniciais livres (os parâmetros da solução geral).

Passo 2

Começo supondo uma solução em série de potências centrada em x=0. Isso significa assumir que
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n},
onde os a_{n} são constantes a determinar. Essa é a hipótese padrão do método de séries de potências: cada solução procurada é escrita como soma infinita de potências de x.
Agora escrevo as derivadas (sempre com n em TeX):
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}, \qquad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}.
Explanação curta: a derivada de a_{n}x^{n} é n a_{n} x^{n-1} e a segunda derivada é n(n-1)a_{n}x^{n-2}. Essas expressões valem para os índices mostrados (começam em n=1 ou n=2 porque para termos menores o coeficiente é zero).

Passo 3

Substituo essas séries na equação (1+x^{2})y''-x y'+y=0. Primeiro calculo (1+x^{2})y'':
(1+x^{2})y''=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2} +\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n}.
Em seguida, escrevo -x y' e +y:
- x y' = -\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n}, \qquad y = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.

Passo 4

Agora coloco todas as somas com a mesma potência x^{k}. Para a primeira soma de (1+x^{2})y'' faço mudança de índice: na soma \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2} ponho k=n-2, logo n=k+2. Obtenho
\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) a_{k+2} x^{k}.
As outras somas já estão em potências x^{n}; para uniformizar renomeio índices todas para x^{n}. Assim a equação inteira fica
\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n} +\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n} -\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n} +\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=0.

Passo 5

Para combinar as somas eu quero uma única soma em x^{n} com índices começando em n=0. Note que a segunda soma começa em n=2 e a terceira em n=1; mas posso estender essas somas para começar em n=0 se lembrar que os termos n=0 e n=1 dessas somas são nulos (pois envolvem fatores n ou n(n-1)). Então posso escrever, para todo n\ge 0,
(n+2)(n+1) a_{n+2} + \big(n(n-1)-n+1\big) a_{n}=0.
Aqui agrupei os coeficientes que multiplicam a_n vindos das três somas correspondentes às potências x^n. Agora simplifico o parêntese:
n(n-1)-n+1 = n^{2}-2n+1=(n-1)^{2}.
Portanto a relação queda-se elegante:
(n+2)(n+1) a_{n+2} + (n-1)^{2} a_{n}=0,\qquad n\ge 0.

Passo 6

Isolo a_{n+2} para ter a fórmula de recorrência explícita:
a_{n+2} = -\frac{(n-1)^{2}}{(n+2)(n+1)}\, a_{n},\qquad n\ge 0.
Comentário didático: essa fórmula diz que cada coeficiente com índice de paridade igual a n determina o coeficiente dois índices mais à frente. Ou seja, os coeficientes se separam em duas sequências independentes:
  • os a_{0},a_{2},a_{4},\dots (mesma paridade de a_{0}), determinados por a_{0};
  • os a_{1},a_{3},a_{5},\dots (mesma paridade de a_{1}), determinados por a_{1}.
Como é equação de segunda ordem, faz sentido ter dois parâmetros livres: a_{0} e a_{1}. A solução geral em série será combinação linear da solução par (iniciada por a_{0}) e da solução ímpar (iniciada por a_{1}).

Passo 7

Agora explicitamente mostro alguns coeficientes para entender o comportamento (isso ajuda na prova e na prática em prova):
  • Para n=0:
a_{2} = -\frac{(0-1)^{2}}{2\cdot1} a_{0} = -\frac{1}{2} a_{0}.
  • Para n=1:
a_{3} = -\frac{(1-1)^{2}}{3\cdot2} a_{1} = 0\cdot a_{1}=0.
  • Para n=2:
a_{4} = -\frac{(2-1)^{2}}{4\cdot3} a_{2} = -\frac{1}{12} a_{2} = -\frac{1}{12}\left(-\frac{1}{2}a_{0}\right)=\frac{1}{24}a_{0}.
Esses cálculos mostram que a sequência ímpar tem um corte imediato: a_{3}=0. Pelo próprio formato da recorrência, se a_{3}=0 então a_{5} (que é proporcional a a_{3}) também será zero, e assim por diante. Vou demonstrar isso formalmente no próximo passo.

Passo 8

Provo que existe solução polinomial. Tome a_{1} arbitrário e a_{0}=0 (ou apenas foque na sequência ímpar). Usando a recorrência com n=1 obtivemos a_{3}=0. Para n=3 a recorrência dá
a_{5} = -\frac{(3-1)^{2}}{5\cdot4} a_{3} = \text{(const)}\cdot a_{3} = 0.
Por indução, se a_{2k+1}=0 então a_{2k+3}=0. Como a_{3}=0 então todos os a_{2k+1}=0 para k\ge 1. Logo a série ímpar truncou: os únicos coeficientes ímpares possíveis são a_{1} (livre) e depois todos nulos. Portanto a solução ímpar é simplesmente
y_{\text{ímpar}}(x)=a_{1} x,í
que é um polinômio de grau 1. De fato, pode-se verificar diretamente substituindo y(x)=x na equação:
y=x\quad\Rightarrow\quad y'=1,\\ y''=0 \quad\Rightarrow\quad (1+x^{2})\cdot0 - x\cdot1 + x =0.
Portanto y=x é solução — é o polinômio que mostramos existir.
Quanto à sequência par iniciada por a_{0}\neq 0, os coeficientes não se anulam automaticamente (porque o numerador (n-1)^{2} só é zero para n=1). Assim a solução par é, em geral, uma série infinita (não um polinómio), por exemplo com primeiros termos
y_{\text{par}}(x)=a_{0}\Big(1 -\tfrac{1}{2}x^{2} + \tfrac{1}{24}x^{4} + \cdots\Big).
Resumo: existe pelo menos uma solução polinomial não-trivial: y(x)=C x (com C constante). A outra solução típica é uma série infinita par determinada por a_{0}.

Passo 9

Determino agora o raio de convergência das séries solução. Existem duas maneiras simples e clássicas de ver isso:
  1. Pelo critério de singularidades da equação linear: o coeficiente do termo de maior derivada (aqui 1+x^{2} multiplicando y'') tem zeros em x=\pm i. Esses são pontos singulares da equação no plano complexo. O raio de convergência da série centrada em x=0 é, no máximo, a distância até a singularidade complexa mais próxima, que é |i-0|=1. Portanto o raio de convergência é 1.
  2. Alternativamente vê-se pela recorrência assintótica: para grandes n temos
\frac{a_{n+2}}{a_{n}}\sim -\frac{n^{2}}{n^{2}}=-1,
ou seja, os coeficientes não decaem mais rápido do que uma sequência com razão aproximadamente 1, o que também leva a raio de convergência 1 pela razão de Cauchy-Hadamard. Ambas as abordagens confirmam o mesmo resultado.
Conclui-se: o raio de convergência das séries soluções centradas em 0 é 1.

Resposta

a_{n+2} = -\frac{(n-1)^{2}}{(n+2)(n+1)}\, a_{n},\qquad n\ge 0.
Existe solução polinomial: y(x)=C\,x (escolhendo a_{1}=C e a_{0}=0).
O raio de convergência das soluções em série centradas em 0 é 1.

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