O enunciado fornece várias funções, entre elas r(x)=-\sqrt[3]{x}.
A pergunta que precisamos responder é: calcule/determine r^{\prime}(0).
Informações relevantes que vamos usar: o valor de r(0) e a definição de derivada no ponto 0 por limite do quociente incremental.
Passo 2
Lembrando a definição de derivada de uma função r no ponto 0:
r'(0)=\lim_{h\to0}\frac{r(0+h)-r(0)}{h}.
Isto significa que devemos calcular o limite do quociente \dfrac{r(h)-r(0)}{h} quando h tende a zero. Se esse limite for um número real finito, esse número é r'(0). Se o limite for \pm\infty ou não existir, então a derivada no ponto não existe como número real.
Passo 3
Calcule r(0):
r(0)=-\sqrt[3]{0}=0.
Portanto o quociente incrementa se simplifica para
\frac{r(h)-r(0)}{h}=\frac{-\sqrt[3]{h}}{h}.
Agora escrevemos a raiz cúbica como potência para manipular melhor:
Vamos estudar o limite quando h\to0 da expressão -h^{-2/3}.
Para h>0: h^{-2/3}=\dfrac{1}{h^{2/3}} que tende a +\infty quando h\to0^+. Assim -h^{-2/3}\to -\infty quando h\to0^+.
Para h<0: escreva h=-t com t>0. Então
-h^{-2/3} = -(-t)^{-2/3} = -t^{-2/3},
e novamente t^{-2/3}\to+\infty quando t\to0^+, logo -t^{-2/3}\to -\infty. Portanto -h^{-2/3}\to -\infty quando h\to0^-.
Como as duas bandas laterais tendem a -\infty, o limite \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{r(h)-r(0)}{h} não é um número real finito — ele diverge para -\infty.
Passo 5
Conclusão e interpretação didática: o quociente incremental tende a -\infty quando h\to0, então não existe uma derivada finita em 0. Em linguagem geométrica, a curva tem uma “tendência vertical” naquele ponto (um comportamento de inclinação não finita), mas isso não conta como derivada no sentido usual (número real).