Sejam as funções:
f(x)=2 x+7 \quad g(x)=4 x^{2}-5 \quad h(x)=\frac{-2}{x} \quad m(x)=\left|x^{2}-1\right| \quad p(x)=3 \sqrt{x} \quad q(x)=|x+1| \quad r(x)=-\sqrt[3]{x}
Calcule/determine:
r^{\prime}(0)

Passo 1

O enunciado fornece várias funções, entre elas
r(x)=-\sqrt[3]{x}.
A pergunta que precisamos responder é: calcule/determine r^{\prime}(0).
Informações relevantes que vamos usar: o valor de r(0) e a definição de derivada no ponto 0 por limite do quociente incremental.

Passo 2

Lembrando a definição de derivada de uma função r no ponto 0:
r'(0)=\lim_{h\to0}\frac{r(0+h)-r(0)}{h}.
Isto significa que devemos calcular o limite do quociente \dfrac{r(h)-r(0)}{h} quando h tende a zero. Se esse limite for um número real finito, esse número é r'(0). Se o limite for \pm\infty ou não existir, então a derivada no ponto não existe como número real.

Passo 3

Calcule r(0):
r(0)=-\sqrt[3]{0}=0.
Portanto o quociente incrementa se simplifica para
\frac{r(h)-r(0)}{h}=\frac{-\sqrt[3]{h}}{h}.
Agora escrevemos a raiz cúbica como potência para manipular melhor:
\frac{-\sqrt[3]{h}}{h}=-\frac{h^{1/3}}{h}=-h^{-2/3}.

Passo 4

Vamos estudar o limite quando h\to0 da expressão -h^{-2/3}.
  • Para h>0: h^{-2/3}=\dfrac{1}{h^{2/3}} que tende a +\infty quando h\to0^+. Assim -h^{-2/3}\to -\infty quando h\to0^+.
  • Para h<0: escreva h=-t com t>0. Então
-h^{-2/3} = -(-t)^{-2/3} = -t^{-2/3},
e novamente t^{-2/3}\to+\infty quando t\to0^+, logo -t^{-2/3}\to -\infty. Portanto -h^{-2/3}\to -\infty quando h\to0^-.
Como as duas bandas laterais tendem a -\infty, o limite \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{r(h)-r(0)}{h} não é um número real finito — ele diverge para -\infty.

Passo 5

Conclusão e interpretação didática: o quociente incremental tende a -\infty quando h\to0, então não existe uma derivada finita em 0. Em linguagem geométrica, a curva tem uma “tendência vertical” naquele ponto (um comportamento de inclinação não finita), mas isso não conta como derivada no sentido usual (número real).

Resposta

r'(0) não existe (o limite é -\infty).

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