Determine se cada uma das funções a seguir é par, ímpar ou nem par, nem ímpar:
x(t)=t^{3}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Informações fornecidas:
  • A função é x(t)=t^{3}.
  • Domínio implícito: todos os números reais (a função polinomial está definida para todo t\in\mathbb{R}).
    Nada mais é fornecido nem solicitado além de classificar a paridade da função.

Passo 2

Vou lembrar as definições (essas são as regras do jogo; decorá-las ajuda muito na prova):
  • Uma função f é chamada de par se, para todo t do domínio,
f(-t)=f(t).
Isto significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical.
  • Uma função f é chamada de ímpar se, para todo t do domínio,
f(-t)=-f(t).
Isto significa que o gráfico tem simetria central em relação à origem.
Observação importante: para afirmar que uma função é par ou ímpar a igualdade deve valer para todo t do domínio, não apenas para alguns valores especiais (por exemplo t=0 sempre satisfaz ambas as condições, então isso não basta).

Passo 3

Agora aplico a definição calculando x(-t). Substituo -t no lugar de t em x(t)=t^{3}:
x(-t)=(-t)^{3}.
Procuro simplificar a potência de um produto: (-t)^{3}=(-1)^{3}\,t^{3}. Como (-1)^{3}=-1, segue que
x(-t)=-1\cdot t^{3}=-t^{3}.

Passo 4

Comparemos o resultado com x(t) e com -x(t):
x(t)=t^{3}, \qquad -x(t)=-t^{3}, \qquad x(-t)=-t^{3}.
Portanto, para todo t,
x(-t)=-x(t).
Isso é exatamente a condição de função ímpar. Também fica claro que x(-t)\neq x(t) na maioria dos t (exceto t=0), então a função não é par.

Passo 5

Conclusão didática e dica de prova: monômios t^{n} seguem a regra simples
(-t)^{n}=(-1)^{n}t^{n}.
Logo, se n for par, (-1)^{n}=1 e t^{n} é par; se n for ímpar, (-1)^{n}=-1 e t^{n} é ímpar. Assim, t^{3} (com n=3 ímpar) é ímpar. Em prova, basta calcular f(-t) e comparar com f(t) e -f(t): é rápido e seguro.

Resposta

A função x(t)=t^{3} é ímpar.

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