Determine se cada uma das funções a seguir é par, ímpar ou nem par, nem ímpar:
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - Domínio implícito: todos os números reais (a função polinomial está definida para todo
).
Nada mais é fornecido nem solicitado além de classificar a paridade da função.
Passo 2
Vou lembrar as definições (essas são as regras do jogo; decorá-las ajuda muito na prova):
- Uma função
é chamada de par se, para todo do domínio,
Isto significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical.
- Uma função
é chamada de ímpar se, para todo do domínio,
Isto significa que o gráfico tem simetria central em relação à origem.
Observação importante: para afirmar que uma função é par ou ímpar a igualdade deve valer para todo
do domínio, não apenas para alguns valores especiais (por exemplo
sempre satisfaz ambas as condições, então isso não basta).
Passo 3
Agora aplico a definição calculando
. Substituo
no lugar de
em
:
Procuro simplificar a potência de um produto:
. Como
, segue que
Passo 4
Comparemos o resultado com
e com
:
Portanto, para todo
,
Isso é exatamente a condição de função ímpar. Também fica claro que
na maioria dos
(exceto
), então a função não é par.
Passo 5
Conclusão didática e dica de prova: monômios
seguem a regra simples
Logo, se
for par,
e
é par; se
for ímpar,
e
é ímpar. Assim,
(com
ímpar) é ímpar. Em prova, basta calcular
e comparar com
e
: é rápido e seguro.
Resposta
A função
é ímpar.