Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{1}^{e} \frac{1}{x \sqrt[4]{\ln (x)}} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral imprópria
\int_{1}^{e} \frac{1}{x\,\sqrt[4]{\ln(x)}}\,dx
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergente, devemos calcular seu valor. O ponto crítico é x=1, pois \ln(1)=0 faz o integrando explodir.

Passo 2

Para lidar com a singularidade em x=1, usamos a substituição
u = \ln(x),
logo du = \frac{1}{x}\,dx. Quando x vai de 1 a e, u vai de 0 a 1.

Passo 3

Sob essa mudança, o integrando fica
\frac{1}{x\,\sqrt[4]{\ln(x)}}\,dx = \frac{1}{x\,u^{1/4}}\,dx = u^{-1/4}\,du.
Portanto a integral transforma-se em
\int_{1}^{e} \frac{1}{x\,\sqrt[4]{\ln(x)}}\,dx = \int_{0}^{1} u^{-1/4}\,du.

Passo 4

A integral em u é uma integral imprópria do tipo \int_{0}^{1}u^{p}\,du com p=-\tfrac14. Sabemos que converge se p>-1, aqui -\tfrac14>-1. Calculando:
\int_{0}^{1}u^{-1/4}\,du = \left[\frac{u^{3/4}}{\tfrac{3}{4}}\right]_{0}^{1} = \frac{4}{3}\bigl(1^{3/4}-0^{3/4}\bigr) = \frac{4}{3}.

Resposta

A integral converge e vale
\frac{4}{3}.

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