Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente, e, em caso de convergência, calcular seu valor. Trata-se de uma integral imprópria no limite superior
, pois ali o denominador
tende a zero. O conteúdo principal é o estudo de singularidade do tipo
e uso de substituição trigonométrica para o cálculo.
Passo 2
Para examinar a convergência, observamos o comportamento de
quando
. Escrevendo
temos
Como
é convergente (é um caso de integral do tipo
-com
), segue que a nossa integral original também é convergente.
Passo 3
Para calcular a integral convergente, fazemos a substituição trigonométrica
com
variando de
(quando
) até
(quando
). Então
e
Assim a integral torna-se
Resposta
A integral é convergente e vale
.