Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\,dx
é convergente ou divergente, e, em caso de convergência, calcular seu valor. Trata-se de uma integral imprópria no limite superior x=2, pois ali o denominador \sqrt{4 - x^{2}} tende a zero. O conteúdo principal é o estudo de singularidade do tipo \frac{1}{\sqrt{a - x}} e uso de substituição trigonométrica para o cálculo.

Passo 2

Para examinar a convergência, observamos o comportamento de \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} quando x\to 2^{-}. Escrevendo
4 - x^{2} = (2 - x)(2 + x) \sim 4\,(2 - x)\quad(\text{para }x\approx 2),
temos
\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\;\sim\;\frac{2}{\sqrt{4\,(2 - x)}} \;=\;\frac{1}{\sqrt{2 - x}}.
Como
\int_{c}^{2} \frac{1}{\sqrt{2 - x}}\,dx
é convergente (é um caso de integral do tipo p-com p=\tfrac12<1), segue que a nossa integral original também é convergente.

Passo 3

Para calcular a integral convergente, fazemos a substituição trigonométrica
x = 2\sin\theta,\quad dx = 2\cos\theta\,d\theta,
com \theta variando de 0 (quando x=0) até \tfrac{\pi}{2} (quando x=2). Então
\sqrt{4 - x^{2}} = \sqrt{4 - 4\sin^{2}\theta} = 2\cos\theta
e
\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\,dx = \frac{2\sin\theta}{2\cos\theta}\,\bigl(2\cos\theta\,d\theta\bigr) =2\sin\theta\,d\theta.
Assim a integral torna-se
\int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\,dx =\int_{0}^{\pi/2}2\sin\theta\,d\theta =2\bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} =2\bigl(0 - (-1)\bigr) =2.

Resposta

A integral é convergente e vale 2.

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