Determine se cada sequência converge ou diverge. Caso convergir, encontre o limite.
\left\{\frac{n^{2}}{n+1}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
\displaystyle a_n = \frac{n^{2}}{n+1}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo que vamos usar é o estudo de limites de sequências, em particular a comparação entre graus de polinômios no numerador e no denominador para n\to\infty.

Passo 2

Para ver o comportamento de a_n quando n\to\infty, dividimos numerador e denominador por n:
a_n = \frac{n^{2}}{n+1} = \frac{\tfrac{n^{2}}{n}}{\tfrac{n+1}{n}} = \frac{n}{1 + \tfrac{1}{n}}.

Passo 3

Quando n\to\infty, temos \tfrac{1}{n}\to 0. Logo o denominador 1 + \tfrac{1}{n}\to 1, enquanto o numerador n\to\infty. Portanto
a_n = \frac{n}{1 + \tfrac{1}{n}}\;\longrightarrow\;\infty.
Isso significa que a sequência não converge a um valor finito.

Resposta

A sequência diverge (vai para +\infty).

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