Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{-\infty}^{+\infty} x^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} x^{3}\,dx
é convergente ou divergente. Aqui não há singularidade no integrando, mas os limites são infinitos, então vamos decompor a integral em duas partes e testar cada uma.

Passo 2

Escrevemos
\int_{-\infty}^{+\infty} x^{3}\,dx = \int_{-\infty}^{0} x^{3}\,dx \;+\;\int_{0}^{\infty} x^{3}\,dx.
Cada termo será avaliado como limite de uma integral definida com limite variável.

Passo 3

Para a parte de 0 até +\infty, seja R>0:
\int_{0}^{R} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{R} = \frac{R^{4}}{4}.
Ao fazermos R\to\infty, \tfrac{R^{4}}{4}\to+\infty. Logo
\int_{0}^{\infty} x^{3}\,dx = +\infty,
ou seja, essa parte diverge.

Passo 4

Para a parte de -\infty até 0, seja R>0:
\int_{-R}^{0} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{-R}^{0} = 0 - \frac{(-R)^{4}}{4} = -\frac{R^{4}}{4}.
Ao fazermos R\to\infty, -\tfrac{R^{4}}{4}\to -\infty. Portanto
\int_{-\infty}^{0} x^{3}\,dx = -\infty,
e essa parte também diverge.

Passo 5

Como pelo menos uma das integrais laterais (na verdade ambas) não se tornam finitas, concluímos que a integral imprópria original
\int_{-\infty}^{+\infty} x^{3}\,dx
é divergente.

Resposta

A integral é divergente.

Exercícios relacionados