Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo: \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{\ln (n)};
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{\ln(n)}
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. O conteúdo é séries de potências, e vamos usar o teste da raiz para achar o raio e depois analisar separadamente os pontos finais x=1 e x=-1.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz, que diz que o raio R satisfaz
Comparando com a integral \displaystyle\int_{2}^{\infty}\frac{dt}{\ln(t)}, que diverge (faremos u=\ln(t)\Rightarrow\int du/u), concluímos que a série também diverge em x=1.
Passo 4
Em x=-1 a série fica
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln(n)},
que é uma série alternante cujos termos \frac{1}{\ln(n)} decrescem para zero. Pelo critério de Leibniz, essa série converge (mas não absolutamente).
Resposta
Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [-1,1).