Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{\ln (n)};

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{\ln(n)}
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. O conteúdo é séries de potências, e vamos usar o teste da raiz para achar o raio e depois analisar separadamente os pontos finais x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz, que diz que o raio R satisfaz
\frac1R=\limsup_{n\to\infty}\biggl|\frac{x^n}{\ln(n)}\biggr|^{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{[\ln(n)]^{1/n}} =|x|\cdot1.
Portanto \limsup|a_n|^{1/n}=|x|, de onde R=1.

Passo 3

Em x=1 a série vira
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln(n)}.
Comparando com a integral \displaystyle\int_{2}^{\infty}\frac{dt}{\ln(t)}, que diverge (faremos u=\ln(t)\Rightarrow\int du/u), concluímos que a série também diverge em x=1.

Passo 4

Em x=-1 a série fica
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln(n)},
que é uma série alternante cujos termos \frac{1}{\ln(n)} decrescem para zero. Pelo critério de Leibniz, essa série converge (mas não absolutamente).

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [-1,1).

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