Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral-infty^0 e^x / 2 d x

Passo 1

O exercício pede para determinar se a integral imprópria integral-infty^0 e^x/2,dx é convergente ou divergente e, em caso de convergência, calcular seu valor. Vamos usar o conceito de integral imprópria como limite e a antiderivada de e^x/2.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de uma integral definida e encontramos sua primitiva. Temos
integral-infty^0 e^x/2,dx = lima to -infty integrala^0 e^x/2,dx

Passo 3

Para encontrar a primitiva, note que se fizermos u = x/2, então du = (1/2),dx, logo
integral e^x/2,dx = integral e^u cdot 2,du = 2e^u + C = 2e^x/2 + C

Passo 4

Avaliamo-la de x = a até x = 0:
integrala^0 e^x/2,dx = l[2e^x/2r]a^0 = 2e^0/2 - 2e^a/2 = 2 - 2e^a/2

Passo 5

Agora tomamos o limite quando a to -infty. Como e^a/2 to 0,
lima to -infty (2 - 2e^a/2) = 2 - 0 = 2

Passo 6

O limite é finito, portanto a integral convergente e seu valor é 2.

Resposta

A integral é convergente e vale 2.

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