Considerando a equação diferencial
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+3 y=0
Pede-se:
Determine o Wronskiano das funções que são soluções da equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de 2ª ordem
x^2y'' - 3xy' + 3y = 0
e pede o Wronskiano das soluções. O conteúdo aqui é ED linear de 2ª ordem e vamos usar o Teorema de Abel para encontrar o Wronskiano sem precisar achar as soluções explicitamente.

Passo 2

Dividimos a equação por x^2 (supondo xneq0) para colocá-la na forma padrão
y'' - 3xy' + 3x^2y = 0
Daí identificamos p(x) = -tfrac3x.

Passo 3

Pelo Teorema de Abel, para
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0,
o Wronskiano satisfaz
W(x) = Cexpl(-integral p(x),dxr)

Passo 4

Calculamos a integral de p(x):
integral p(x),dx = integral -3x,dx = -3ln|x|
Logo
-integral p(x),dx = 3ln|x|,
e
W(x) = C,e^3ln|x| = C,|x|^3

Passo 5

Em um intervalo onde x não troca de sinal, podemos absorver o valor absoluto em C e escrever
W(x) = C,x^3

Resposta

W(x) = C,x^3

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