Considerando a equação diferencial
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+3 y=0
Pede-se:
Calcule os valores de c1 e c2, sabendo-se que as condições iniciais são y(2)=6 e y^prime(2)=11.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
x^2 y'' - 3x y' + 3y = 0
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores das constantes $ c_{1} $ e $ c_{2} $ na solução geral dessa equação, usando as condições iniciais $ y(2) = 6 $ e $ y’(2) = 11 $. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis, especificamente para equações equidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que essa é uma equação diferencial equidimensional, ou seja, os coeficientes das derivadas são potências de $ x $. Para resolver esse tipo de equação, a gente assume uma solução na forma:
x
Onde $ r $ é uma constante que a gente precisa encontrar. Vamos substituir essa forma na equação original para achar os valores de $ r $.

Passo 3

Calculando as derivadas de $ y = x^{r} $:
y = x^r
y' = r x^r - 1
Agora, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial:
y'' = r (r - 1) x^r - 2
Simplificando cada termo:
y
Fatorando $ x^{r} $:
y'

Passo 4

Para que essa equação valha para todo $ x $, o que está entre colchetes precisa ser zero:
x
r (r - 1) - 3r + 3 = 0
r^2 - r - 3r + 3 = 0
Agora, a gente resolve essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
r^2 - 4r + 3 = 0
r
r = 4 pm raiz16 - 122
Então, as soluções são:
r = 4 pm raiz42
r = 4 pm 22

Passo 5

Com os valores de $ r $ encontrados, a solução geral da equação diferencial é:
r
Onde $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes que a gente precisa determinar usando as condições iniciais dadas.

Passo 6

Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(2) = 6 $:
y(2) = 6
6 = c1 (2)^3 + c2 (2)
Essa é a nossa primeira equação:
6 = 8c1 + 2c2

Passo 7

Vamos aplicar a segunda condição inicial $ y’(2) = 11 $. Primeiro, precisamos encontrar a derivada da solução geral:
y'(2) = 11
Agora, substituindo $ x = 2 $:
y'(x) = 3c1 x^2 + c2
x = 2
Essa é a nossa segunda equação:
11 = 3c1 (2)^2 + c2

Passo 8

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. $ 8c_{1} + 2c_{2} = 6 $
  2. $ 12c_{1} + c_{2} = 11 $
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a segunda equação por 2 para facilitar:
8c1 + 2c2 = 6
Agora, subtraímos a primeira equação dessa:
12c1 + c2 = 11
24c1 + 2c2 = 22
(24c1 + 2c2) - (8c1 + 2c2) = 22 - 6

Passo 9

Agora que encontramos $ c_{1} = 1 $, vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar $ c_{2} $:
c1 = 1
c2
8(1) + 2c2 = 6
8 + 2c2 = 6

Resposta

Os valores das constantes são $ c_{1} = 1 $ e $ c_{2} = -1 $.

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