Considerando a equação diferencial
Pede-se:
Calcule os valores de
e
, sabendo-se que as condições iniciais são
.
Pede-se:
Calcule os valores de
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores das constantes $ c_{1} $ e $ c_{2} $ na solução geral dessa equação, usando as condições iniciais $ y(2) = 6 $ e $ y’(2) = 11 $. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes variáveis, especificamente para equações equidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que essa é uma equação diferencial equidimensional, ou seja, os coeficientes das derivadas são potências de $ x $. Para resolver esse tipo de equação, a gente assume uma solução na forma:
Onde $ r $ é uma constante que a gente precisa encontrar. Vamos substituir essa forma na equação original para achar os valores de $ r $.
Passo 3
Calculando as derivadas de $ y = x^{r} $:
Agora, vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial:
Simplificando cada termo:
Fatorando $ x^{r} $:
Passo 4
Para que essa equação valha para todo $ x $, o que está entre colchetes precisa ser zero:
Agora, a gente resolve essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
Então, as soluções são:
Passo 5
Com os valores de $ r $ encontrados, a solução geral da equação diferencial é:
Onde $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes que a gente precisa determinar usando as condições iniciais dadas.
Passo 6
Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(2) = 6 $:
Essa é a nossa primeira equação:
Passo 7
Vamos aplicar a segunda condição inicial $ y’(2) = 11 $. Primeiro, precisamos encontrar a derivada da solução geral:
Agora, substituindo $ x = 2 $:
Essa é a nossa segunda equação:
Passo 8
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
- $ 8c_{1} + 2c_{2} = 6 $
- $ 12c_{1} + c_{2} = 11 $
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a segunda equação por 2 para facilitar:
Agora, subtraímos a primeira equação dessa:
Passo 9
Agora que encontramos $ c_{1} = 1 $, vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar $ c_{2} $:
Resposta
Os valores das constantes são $ c_{1} = 1 $ e $ c_{2} = -1 $.