Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral-1^infty e^1 / 8x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a integral imprópria
integral-1^inftye^1/8x^3,dx
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é o de integrais impróprias com singularidade em x=0 e em xtoinfty. Para convergência precisamos que cada trecho impropriamente definido seja finito.

Passo 2

Como e^1/8 é constante, podemos tirá-lo fora da integral e depois dividir o domínio em dois trechos, pois há singularidade em x=0:
integral-1^inftye^1/8x^3,dx = e^1/8l(integral-1^01x^3,dx + integral0^infty1x^3,dxr)

Passo 3

Analise o trecho integral-1^0x^-3,dx. A primitiva de x^-3 é
integral x^-3,dx = -12x^2 + C
Logo, para varepsilon>0,
integral-1^-varepsilonx^-3,dx = l[-tfrac12x^2r]x=-1^x=-varepsilon = -12varepsilon^2 + 12
Quando varepsilonto0^+, o termo -tfrac12varepsilon^2to -infty. Logo esse trecho diverge.

Passo 4

Já que o pedaço de -1 até 0 diverge, não há como a integral total convergir, independentemente do comportamento em xtoinfty. Portanto a integral original é divergente.

Resposta

A integral diverge.

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