Dizer se são convergentes ou divergentes as séries:
sumn=1^+infty(-1)^n+1(25)^1 / n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^+infty(-1)^n+1l(tfrac25r)^1/n.
O conteúdo principal aqui é o teste da divergência (teste do termo geral), que afirma que, se limntoinftyanneq0, então a série sum an diverge.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = (-1)^n+1l(tfrac25r)^1/n
Para aplicar o teste da divergência, calculamos
limntoinftyan = limntoinfty(-1)^n+1l(tfrac25r)^1/n
Como l(tfrac25r)^1/n = e^1nln(2/5) e limntoinfty1nln(2/5)=0, segue que
limntoinftyl(tfrac25r)^1/n = e^0 = 1
Logo
limntoinftyan = limntoinfty(-1)^n+1cdot1
não existe como zero, pois oscila entre +1 e -1.

Passo 3

Não sendo satisfeito o requisito limntoinftyan=0, a série diverge pelo teste da divergência.

Resposta

A série diverge.

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