Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^9 1raiz[3]x-1 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a integral imprópria integral0^9 1raiz[3]x-1,dx. O conteúdo é de integrais impróprias com singularidade interna em x=1. Vamos usar o teste de convergência para p-integral e, depois, calcular a antiderivada de (x-1)^-1/3.

Passo 2

Identificação da singularidade e teste de convergência: A função f(x)= (x-1)^-1/3 fica singular em x=1. Perto de x=1, temos comportamento do tipo |x-1|^-p com p=1/3. Como p<1, a integral em torno de x=1 é convergente.

Passo 3

Cálculo da antiderivada: Para integrar (x-1)^-1/3, lembramos que ddx(x-1)^2/3=23(x-1)^-1/3. Logo,
integral (x-1)^-1/3,dx = 32(x-1)^2/3 + C

Passo 4

Avaliação dos limites laterais em x=1: A primitiva F(x)=tfrac32(x-1)^2/3 é contínua em x=1 porque (x-1)^2/3 fica zero ali. Não há divergência em nenhum dos dois lados.

Passo 5

Cálculo da integral definida: Usando F(x)=tfrac32(x-1)^2/3, temos
integral0^9 1raiz[3]x-1,dx = F(9)-F(0) = 32(9-1)^2/3 - 32(0-1)^2/3

Passo 6

Como (9-1)^2/3=8^2/3=4 e (0-1)^2/3=(-1)^2/3=1, obtemos
32(4) - 32(1) = 32cdot3 = 92

Resposta

tfrac92

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