Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(d)
(o)
(d)
(o)
Passo 1
A questão pede pra gente analisar duas integrais impróprias: uma de 0 a +∞ e outra de 0 a 1 com singularidade no fim. O conteúdo é convergência de integrais impróprias e cálculo das que convergem; vamos usar integração por partes na primeira e primitiva simples na segunda.
Passo 2
Analisando
: aqui o único problema é o limite em +∞, pois em 0 o integrando é finito. Como
decai rápido, a integral converge. Para calcular, fazemos integração por partes: escolhemos
e
. Assim temos
e
. Então
Agora basta tomar
Passo 3
Analisando
: aqui o problema é em
, pois
fica infinito. Em geral a integral
converge se
; como
, ela converge. A primitiva de
é
Aí fazemos o limite em 1:
Resposta
A integral (d) é convergente e vale 1. A integral (o) é convergente e vale 2.