Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(d) integral0^+infty x e^-x d x
(o) integral0^1 1raiz1-x d x

Passo 1

A questão pede pra gente analisar duas integrais impróprias: uma de 0 a +∞ e outra de 0 a 1 com singularidade no fim. O conteúdo é convergência de integrais impróprias e cálculo das que convergem; vamos usar integração por partes na primeira e primitiva simples na segunda.

Passo 2

Analisando integral0^+infty x e^-x,dx: aqui o único problema é o limite em +∞, pois em 0 o integrando é finito. Como e^-x decai rápido, a integral converge. Para calcular, fazemos integração por partes: escolhemos u = x e dv = e^-xdx. Assim temos du = dx e v = -e^-x. Então
nabla = integral0^A x e^-xdx = l[-x e^-xr]0^A + integral0^A e^-xdx = -A e^-A + l[-e^-xr]0^A = -A e^-A + (1 - e^-A)
Agora basta tomar A to +infty: o termo A e^-A to 0 e e^-Ato0, sobrando 1. Logo essa integral converge e vale 1.

Passo 3

Analisando integral0^1 1raiz1-x,dx: aqui o problema é em x=1, pois 1/raiz1-x fica infinito. Em geral a integral integral^1(1-x)^-pdx converge se p<1; como p=1/2<1, ela converge. A primitiva de (1-x)^-1/2 é
F(x) = integral (1-x)^-1/2dx = -2raiz1-x
Aí fazemos o limite em 1:
integral0^1 1raiz1-xdx = limbto1^-l[-2raiz1-xr]0^b = l(0 - (-2)r) = 2

Resposta

A integral (d) é convergente e vale 1. A integral (o) é convergente e vale 2.

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