Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(b) integral-infty^0 13-4 x d x
(m) integral0^9 1raiz[3]x-1 d x
(x) integral0^pi / 2 sec ^2 alpha d alpha

Passo 1

O enunciado pede para testar convergência das integrais impróprias e calcular as que convergem. Vamos usar conceitos de limites em integrais com extremos infinitos ou singularidades. Para isso precisamos: reconhecer os tipos de impropriedade (limites infinitos ou descontinuidade no integrando) e avaliar cada caso separadamente.

Passo 2

Para o item (b) analisamos
integral-infty^0 13 - 4x,dx
Esta é impropria no limite inferior. Fazemos a primitiva por substituição: seja u = 3 - 4x, então du = -4,dx e dx = -tfrac14du. Obtém-se
integral 1u l(-tfrac14r) du = -tfrac14 ln|u| + C = -tfrac14 ln|3 - 4x| + C
Avaliaremos o limite
limAto+infty integral-A^0 13 - 4x,dx = limAto+infty l[-tfrac14 ln|3 - 4x|r]x=-A^x=0
Em x=0 -tfrac14ln3); em x=-A -tfrac14ln(3+4A)). A diferença cresce sem limite quando Atoinfty, logo a integral diverge.

Passo 3

No item (m) temos
integral0^9 1raiz[3]x-1,dx = integral0^9 (x-1)^-1/3 dx
Há singularidade em x=1, então separamos em duas integrais: de 0 a 1 e de 1 a 9.
Para 0<= x<1, note que x-1=-(1-x) e
(x-1)^-1/3 = - (1-x)^-1/3
Fazendo u=1-x, obtemos
integral0^1 (x-1)^-1/3 dx = - integral1^0 u^-1/3 (-du) = - l[32u^2/3r]0^1 = -32
Para 1, use u=x-1 direto:
integral1^9 (x-1)^-1/3dx = integral0^8 u^-1/3 du = l[32u^2/3r]0^8 = 32cdot 4 = 6
Somando os dois resultados dá -tfrac32 + 6 = tfrac92. Portanto a integral converge e vale 9/2.

Passo 4

No item (x) consideramos
integral0^pi/2 sec^2alpha,dalpha
A primitiva de sec^2alpha é tanalpha. Avaliando de 0 a pi/2:
limbtopi/2^- l[tanalphar]0^b = limbtopi/2^- (tan b - 0) = +infty
Como o limite explode, a integral diverge.

Resposta

Para o item (b) a integral é divergente; para o item (m) a integral é convergente e vale 9/2; para o item (x) a integral é divergente.

Exercícios relacionados