Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(b)
(m)
(x)
(b)
(m)
(x)
Passo 1
O enunciado pede para testar convergência das integrais impróprias e calcular as que convergem. Vamos usar conceitos de limites em integrais com extremos infinitos ou singularidades. Para isso precisamos: reconhecer os tipos de impropriedade (limites infinitos ou descontinuidade no integrando) e avaliar cada caso separadamente.
Passo 2
Para o item (b) analisamos
Esta é impropria no limite inferior. Fazemos a primitiva por substituição: seja
, então
e
. Obtém-se
Avaliaremos o limite
Em
dá
; em
dá
. A diferença cresce sem limite quando
, logo a integral diverge.
Passo 3
No item (m) temos
Há singularidade em
, então separamos em duas integrais: de
a
e de
a
.
Para , note que
e
Para
Fazendo
, obtemos
Para
, use
direto:
Somando os dois resultados dá
. Portanto a integral converge e vale
.
Passo 4
No item (x) consideramos
A primitiva de
é
. Avaliando de
a
:
Como o limite explode, a integral diverge.
Resposta
Para o item (b) a integral é divergente; para o item (m) a integral é convergente e vale
; para o item (x) a integral é divergente.