Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^4 4(x-6)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
integral0^4 4(x-6)^3,dx
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o seu valor. O conteúdo envolvido é a verificação da continuidade da função integranda no intervalo e o cálculo da antiderivada para uma integral definida.

Passo 2

Observamos que a função
f(x) = 4(x-6)^3
é contínua em todo R exceto em x=6. Como 6notin [0,4], não há singularidade no intervalo de integração, logo a integral é propriamente definida e convergente.

Passo 3

Encontramos uma antiderivada de f usando a regra de potência:
integral 4,(x-6)^-3,dx =4cdot(x-6)^-2-2+C =-2,(x-6)^-2+C

Passo 4

Seja
F(x) = -2,(x-6)^-2
Então
integral0^4 4(x-6)^3,dx =F(4) - F(0) =-2,(4-6)^-2 - l(-2,(0-6)^-2r)
Calculando cada termo:
-2,(4-6)^-2 = -2cdot1(-2)^2 = -12, -2,(0-6)^-2 = -2cdot1(-6)^2 = -118
Portanto
F(4)-F(0) =-12 - l(-tfrac118r) =-12 + 118 =-918 + 118 =-818 =-49

Passo 5

Como a função integrais é contínua em [0,4], concluímos que a integral é convergente.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é -tfrac49.

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