Questão 2. Primeiro faça uma substituição indicada e em seguida use integração por partes para calcular a integral.
int e^raizx+1 dx, w=raizx+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral e^raizx+1,dx
usando primeiro a substituição indicada e depois integração por partes. Vamos precisar reconhecer como transformar a raiz em uma nova variável e em seguida aplicar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Fazendo a substituição
w = raizx+1 Longrightarrow x = w^2 - 1,
derivando ambos os lados em relação a w obtemos
dx = 2w,dw
Logo a integral original vira
integral e^raizx+1,dx = integral e^w,(2w,dw) = integral 2w,e^w,dw

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes em
integral 2w,e^w,dw. Escolhemos
u = 2w Longrightarrow du = 2,dw,
dv = e^w,dw Longrightarrow v = e^w
Pela fórmula
integral 2w,e^w,dw = u,v - integral v,du = 2w,e^w - integral e^w,(2,dw) = 2w,e^w - 2integral e^w,dw = 2w,e^w - 2e^w + C

Passo 4

Retornando à variável x, lembrando que w = raizx+1, fica
F(x) = 2raizx+1,e^raizx+1 - 2,e^raizx+1 + C

Resposta

F(x) = 2raizx+1,e^raizx+1 - 2,e^raizx+1 + C

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