Determine se cada integral é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente. Informação importante dada pelo enunciado:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Observação óbvia: a função
tem uma singularidade (polo) em , que fica dentro do intervalo de integração. Portanto trata-se de uma integral imprópria e precisa ser interpretada como a soma de dois limites laterais.
Passo 2
Definição de integral imprópria com singularidade interna: se
é um ponto de descontinuidade em
, então
é definido como
e a integral converge somente se ambos os limites existem e são finitos. Aqui
,
e
. Assim devemos estudar os dois limites laterais:
Passo 3
Calcular uma primitiva de
. Note que
Portanto uma primitiva é
Passo 4
Avaliar o limite lateral pela esquerda. Para
,
Calcular os termos:
. Assim
Agora faça o limite
. Como
, temos
. Logo
Isso já mostra divergência, mas prossigo calculando o outro lado para completar.
Passo 5
Avaliar o limite lateral pela direita. Para
,
Como
, obtemos
Ao tomar
, tem-se
e
, portanto
Passo 6
Interpretação e teste rápido (intuição): perto de
a função comporta-se como
com
. O "teste
" para singularidades do tipo
diz que a integral numa vizinhança de
converge se e somente se
. Como aqui
, espera-se divergência — consistente com os cálculos anteriores que deram divergência para ambos os lados.
Passo 7
Conclusão: como pelo menos um (na verdade ambos) dos limites laterais é infinito, a integral imprópria original não converge (diverge para
).
Resposta
Divergente