Determine se cada integral é convergente ou divergente.
\int_{0}^{2} \frac{d x}{(x-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
\int_{0}^{2} \frac{dx}{(x-1)^{2}}
é convergente ou divergente. Informação importante dada pelo enunciado:
  • O integrando é \dfrac{1}{(x-1)^{2}}.
  • O intervalo de integração é [0,2].
  • Observação óbvia: a função \dfrac{1}{(x-1)^{2}} tem uma singularidade (polo) em x=1, que fica dentro do intervalo de integração. Portanto trata-se de uma integral imprópria e precisa ser interpretada como a soma de dois limites laterais.

Passo 2

Definição de integral imprópria com singularidade interna: se c é um ponto de descontinuidade em (a,b), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
é definido como
\lim_{t\to c^-}\int_{a}^{t} f(x)\,dx \;+\; \lim_{s\to c^+}\int_{s}^{b} f(x)\,dx,
e a integral converge somente se ambos os limites existem e são finitos. Aqui a=0, b=2 e c=1. Assim devemos estudar os dois limites laterais:
\lim_{t\to 1^-}\int_{0}^{t}\frac{dx}{(x-1)^{2}} \qquad\text{e}\qquad \lim_{s\to 1^+}\int_{s}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}}.

Passo 3

Calcular uma primitiva de \dfrac{1}{(x-1)^{2}}. Note que
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x-1}\right)= -\left(-1\right)(x-1)^{-2}=\frac{1}{(x-1)^{2}}.
Portanto uma primitiva é
\int \frac{dx}{(x-1)^{2}} = -\frac{1}{x-1} + C.

Passo 4

Avaliar o limite lateral pela esquerda. Para 0<t<1,
\int_{0}^{t}\frac{dx}{(x-1)^{2}} = \left[-\frac{1}{x-1}\right]_{0}^{t} = -\frac{1}{t-1} -\left(-\frac{1}{0-1}\right).
Calcular os termos: -\dfrac{1}{0-1} = -\dfrac{1}{-1}=1. Assim
\int_{0}^{t}\frac{dx}{(x-1)^{2}} = -\frac{1}{t-1} - 1.
Agora faça o limite t\to 1^-. Como t-1\to 0^{-}, temos -\dfrac{1}{t-1}\to +\infty. Logo
\lim_{t\to 1^-}\int_{0}^{t}\frac{dx}{(x-1)^{2}} = +\infty.
Isso já mostra divergência, mas prossigo calculando o outro lado para completar.

Passo 5

Avaliar o limite lateral pela direita. Para 1<s<2,
\int_{s}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}} = \left[-\frac{1}{x-1}\right]_{s}^{2} = -\frac{1}{2-1} -\left(-\frac{1}{s-1}\right).
Como -\dfrac{1}{2-1}=-1, obtemos
\int_{s}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}} = -1 + \frac{1}{s-1}.
Ao tomar s\to 1^{+}, tem-se s-1\to 0^{+} e \dfrac{1}{s-1}\to +\infty, portanto
\lim_{s\to 1^+}\int_{s}^{2}\frac{dx}{(x-1)^{2}} = +\infty.

Passo 6

Interpretação e teste rápido (intuição): perto de x=1 a função comporta-se como \dfrac{1}{|x-1|^{p}} com p=2. O "teste p" para singularidades do tipo |x-c|^{-p} diz que a integral numa vizinhança de c converge se e somente se p<1. Como aqui p=2\ge 1, espera-se divergência — consistente com os cálculos anteriores que deram divergência para ambos os lados.

Passo 7

Conclusão: como pelo menos um (na verdade ambos) dos limites laterais é infinito, a integral imprópria original não converge (diverge para +\infty).

Resposta

Divergente

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