O polinômio de grau 4
f(x)=230 x^{4}+18 x^{3}+9 x^{2}-221 x-9
tem duas raízes reais, uma em [-1,0] e outra em [0,1]. Faça três iterações dos métodos e compare o desempenho.
(b) Método das secantes

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
f(x)=230 x^{4}+18 x^{3}+9 x^{2}-221 x-9
e informa que existem duas raízes reais: uma em [-1,0] e outra em [0,1]. A tarefa pedida (parte (b)) é aplicar o método das secantes, fazendo três iterações, e comparar o desempenho do método nos dois intervalos indicados.
Informações relevantes já dadas:
  • O polinômio é f(x)=230 x^{4}+18 x^{3}+9 x^{2}-221 x-9.
  • Há uma raiz em [-1,0] e outra em [0,1].
  • Vou usar como aproximações iniciais os extremos dos intervalos:
    • Para a raiz em [-1,0]: x_0=-1 e x_1=0.
    • Para a raiz em [0,1]: x_0=0 e x_1=1.

Passo 2

Explicando o método das secantes (passo-a-passo, para a prova):
  • O método usa duas aproximações consecutivas x_{n-1} e x_n para construir a próxima aproximação x_{n+1} pela reta que passa por (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)) e toma a interseção dessa reta com o eixo x.
  • A fórmula do método das secantes é
x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)\,(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Interpretação das variáveis na fórmula:
    • x_{n-1} e x_n são as duas últimas aproximações conhecidas.
    • f(x_{n-1}) e f(x_n) são os valores do polinômio nesses pontos.
    • O denominador f(x_n)-f(x_{n-1}) não pode ser zero (significa que os valores no numerador e denominador mudam o sinal/razão).
  • Observações práticas:
    • O método não exige que x_{n-1} e x_n formem um intervalo que contenha a raiz (não é um método de seção/busca garantida como a bissecção), por isso pode convergir rápido ou divergir dependendo das escolhas iniciais.
    • Em prova, escolha pontos iniciais próximos à raiz quando possível; se usar extremos de um intervalo de alteração de sinal, normalmente funciona bem, mas não é garantido.
Agora aplicamos a fórmula nos dois intervalos, realizando três iterações (isto é: calcular x_2,x_3,x_4 a partir de x_0,x_1).

Passo 3

Aplicação do método das secantes à raiz em [-1,0] com x_0=-1, x_1=0.
  1. Avaliar f nos pontos iniciais:
  • f(-1)=230(-1)^4+18(-1)^3+9(-1)^2-221(-1)-9=433. Ou seja, f(-1)=433.
  • f(0)=-9. Ou seja, f(0)=-9.
  1. Primeira iteração: calcular x_2 usando x_0=-1 e x_1=0.
    Usando a fórmula,
x_2 = x_1 - \dfrac{f(x_1)\,(x_1-x_0)}{f(x_1)-f(x_0)} = 0 - \dfrac{(-9)\,(0-(-1))}{-9-433} = \dfrac{9}{-442} = -\dfrac{9}{442}.
Em decimal,
x_2 \approx -0,020361992.

Passo 4

Continuando para [-1,0]: avaliar f(x_2) e calcular x_3.
  1. Avaliação de f em x_2=-\dfrac{9}{442}. Para facilitar cálculos observe que -221 x_2 = -221\cdot\big(-\dfrac{9}{442}\big)=\dfrac{221\cdot9}{442}=\dfrac{9}{2}=4{,}5 (isso simplifica a soma). Calculando os demais termos (usar aproximações numéricas) obtém-se
f(x_2)\approx -4{,}49638135.
(Detalhe: os termos de ordem alta são muito pequenos porque x_2 é pequeno em módulo.)
  1. Segunda iteração: usar x_1=0 e x_2 para obter x_3.
x_3 = x_2 - \dfrac{f(x_2)\,(x_2-x_1)}{f(x_2)-f(x_1)}.
Substituindo os números:
x_3 \approx -0,020361992 - \dfrac{(-4{,}49638135)\,(-0,020361992-0)}{-4{,}49638135-(-9)} \approx -0,04071799.

Passo 5

Ainda em [-1,0]: avaliar f(x_3) e calcular x_4.
  1. Avaliação: com x_3\approx -0,04071799 obtemos
f(x_3)\approx 0{,}0130166.
Note que o sinal mudou (de negativo em x_2 para positivo em x_3), o que é um bom indicador de que estamos “próximos” da raiz.
  1. Terceira iteração: usar x_2 e x_3 para obter x_4:
x_4 = x_3 - \dfrac{f(x_3)\,(x_3-x_2)}{f(x_3)-f(x_2)}.
Substituindo:
x_4 \approx -0,04071799 - \dfrac{0{,}0130166\,(-0,04071799-(-0,020361992))}{0{,}0130166-(-4{,}49638135)} \approx -0,04065942.
  1. Comentário rápido sobre convergência (para este caso): após três iterações temos aproximações
x_2\approx -0{,}020362,\quad x_3\approx -0{,}040718,\quad x_4\approx -0{,}040659.
Os valores estão-se estabilizando perto de -0{,}04066; o método convergiu rapidamente aqui.

Passo 6

Agora aplicar o método das secantes à raiz em [0,1] com x_0=0, x_1=1.
  1. Avaliar f nos pontos iniciais:
  • f(0)=-9.
  • f(1)=230+18+9-221-9=27. Ou seja, f(1)=27.
  1. Primeira iteração (para este intervalo): calcular x_2
x_2 = 1 - \dfrac{27\,(1-0)}{27-(-9)} = 1 - \dfrac{27}{36} = 0{,}25.

Passo 7

Continuando em [0,1]: avaliar f(x_2) e calcular x_3.
  1. Avaliação em x_2=0{,}25:
    Calcule os termos: x_2^2=0{,}0625, x_2^3=0{,}015625, x_2^4=0{,}00390625. Logo
f(0{,}25)=230\cdot0{,}00390625+18\cdot0{,}015625+9\cdot0{,}0625-221\cdot0{,}25-9 =-62{,}5078125.
  1. Segunda iteração: usar x_1=1 e x_2=0{,}25:
x_3 = x_2 - \dfrac{f(x_2)\,(x_2-x_1)}{f(x_2)-f(x_1)} =0{,}25 - \dfrac{(-62{,}5078125)\,(0{,}25-1)}{-62{,}5078125-27} \approx 0{,}773740.

Passo 8

Ainda em [0,1]: avaliar f(x_3) e calcular x_4.
  1. Avaliação em x_3\approx 0{,}773740:
    calculando x_3^2,x_3^3,x_3^4 e substituindo no polinômio, obtém-se
f(x_3)\approx -83{,}8362627.
Note que f(x_3) manteve sinal negativo (era negativo em x_2 e continua negativo), e em módulo aumentou.
  1. Terceira iteração: usar x_2 e x_3:
x_4 = x_3 - \dfrac{f(x_3)\,(x_3-x_2)}{f(x_3)-f(x_2)}.
Numericamente isso dá
x_4 \approx 0{,}773740 - \dfrac{(-83{,}8362627)\,(0{,}773740-0{,}25)}{-83{,}8362627-(-62{,}5078125)} \approx -1{,}283244.
  1. Comentário sobre o comportamento: em três iterações a sequência foi
x_2=0{,}25,\quad x_3\approx 0{,}773740,\quad x_4\approx -1{,}283244.
Ou seja, o método não se comportou bem aqui: as iterações “saltaram” para fora do intervalo [0,1] e produziram um valor bem distante da raiz real que sabemos estar próximo de 0{,}96 (pelo teste rápido de sinais). Isso mostra que, com escolhas iniciais inadequadas, o método das secantes pode divergir ou oscilar.

Passo 9

Comparação de desempenho (síntese didática, o que levar para a prova):
  • Para a raiz em [-1,0], com escolha x_0=-1, x_1=0, o método convergiu rapidamente: as três iterações levaram a x_4\approx -0{,}040659 e os valores mostraram troca de sinal e estabilização. Conclusão: bom desempenho neste caso.
  • Para a raiz em [0,1], com escolha x_0=0, x_1=1, o método não convergiu nas três primeiras iterações: os iterados saíram do intervalo e aproximaram-se de um valor bem distante ( x_4\approx -1{,}283244). Conclusão: desempenho ruim aqui — a razão é que as secantes formadas pelas avaliações não aproximaram bem a tangente à curva próxima da raiz e o método “passou longe”.
  • Regra prática para provas: embora a secante possa convergir mais rápido que a bissecção quando as aproximações iniciais são boas, ela não garante convergência. Se o enunciado pede robustez e garantias, combine secante com bissecção (método híbrido) ou use bissecção até que os pontos estejam suficientemente próximos.

Resposta

Para a raiz em [-1,0]: x_4\approx -0,04065942
Para a raiz em [0,1]: x_4\approx -1,283244

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