O polinômio de grau 4
tem duas raízes reais, uma em
e outra em
. Faça três iterações dos métodos e compare o desempenho.
(b) Método das secantes
(b) Método das secantes
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e informa que existem duas raízes reais: uma em
e outra em
. A tarefa pedida (parte (b)) é aplicar o método das secantes, fazendo três iterações, e comparar o desempenho do método nos dois intervalos indicados.
Informações relevantes já dadas:
- O polinômio é
. - Há uma raiz em
e outra em . - Vou usar como aproximações iniciais os extremos dos intervalos:
- Para a raiz em
: e . - Para a raiz em
: e .
- Para a raiz em
Passo 2
Explicando o método das secantes (passo-a-passo, para a prova):
- O método usa duas aproximações consecutivas
e para construir a próxima aproximação pela reta que passa por e e toma a interseção dessa reta com o eixo . - A fórmula do método das secantes é
- Interpretação das variáveis na fórmula:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas. -
e são os valores do polinômio nesses pontos. - O denominador
não pode ser zero (significa que os valores no numerador e denominador mudam o sinal/razão).
-
- Observações práticas:
- O método não exige que
e formem um intervalo que contenha a raiz (não é um método de seção/busca garantida como a bissecção), por isso pode convergir rápido ou divergir dependendo das escolhas iniciais. - Em prova, escolha pontos iniciais próximos à raiz quando possível; se usar extremos de um intervalo de alteração de sinal, normalmente funciona bem, mas não é garantido.
- O método não exige que
Agora aplicamos a fórmula nos dois intervalos, realizando três iterações (isto é: calcular
a partir de
).
Passo 3
Aplicação do método das secantes à raiz em
com
,
.
- Avaliar
nos pontos iniciais:
-
. Ou seja, . -
. Ou seja, .
- Primeira iteração: calcular
usando e .
Usando a fórmula,
Em decimal,
Passo 4
Continuando para
: avaliar
e calcular
.
- Avaliação de
em . Para facilitar cálculos observe que (isso simplifica a soma). Calculando os demais termos (usar aproximações numéricas) obtém-se
(Detalhe: os termos de ordem alta são muito pequenos porque
é pequeno em módulo.)
- Segunda iteração: usar
e para obter .
Substituindo os números:
Passo 5
Ainda em
: avaliar
e calcular
.
- Avaliação: com
obtemos
Note que o sinal mudou (de negativo em
para positivo em
), o que é um bom indicador de que estamos “próximos” da raiz.
- Terceira iteração: usar
e para obter :
Substituindo:
- Comentário rápido sobre convergência (para este caso): após três iterações temos aproximações
Os valores estão-se estabilizando perto de
; o método convergiu rapidamente aqui.
Passo 6
Agora aplicar o método das secantes à raiz em
com
,
.
- Avaliar
nos pontos iniciais:
-
. -
. Ou seja, .
- Primeira iteração (para este intervalo): calcular
Passo 7
Continuando em
: avaliar
e calcular
.
- Avaliação em
:
Calcule os termos:, , . Logo
- Segunda iteração: usar
e :
Passo 8
Ainda em
: avaliar
e calcular
.
- Avaliação em
:
calculandoe substituindo no polinômio, obtém-se
Note que
manteve sinal negativo (era negativo em
e continua negativo), e em módulo aumentou.
- Terceira iteração: usar
e :
Numericamente isso dá
- Comentário sobre o comportamento: em três iterações a sequência foi
Ou seja, o método não se comportou bem aqui: as iterações “saltaram” para fora do intervalo
e produziram um valor bem distante da raiz real que sabemos estar próximo de
(pelo teste rápido de sinais). Isso mostra que, com escolhas iniciais inadequadas, o método das secantes pode divergir ou oscilar.
Passo 9
Comparação de desempenho (síntese didática, o que levar para a prova):
- Para a raiz em
, com escolha , , o método convergiu rapidamente: as três iterações levaram a e os valores mostraram troca de sinal e estabilização. Conclusão: bom desempenho neste caso. - Para a raiz em
, com escolha , , o método não convergiu nas três primeiras iterações: os iterados saíram do intervalo e aproximaram-se de um valor bem distante ( ). Conclusão: desempenho ruim aqui — a razão é que as secantes formadas pelas avaliações não aproximaram bem a tangente à curva próxima da raiz e o método “passou longe”. - Regra prática para provas: embora a secante possa convergir mais rápido que a bissecção quando as aproximações iniciais são boas, ela não garante convergência. Se o enunciado pede robustez e garantias, combine secante com bissecção (método híbrido) ou use bissecção até que os pontos estejam suficientemente próximos.
Resposta
Para a raiz em
:
Para a raiz em
: