Determine, em cada item abaixo, a matriz associada à transformação linear T com relação às bases \alpha e \beta.
T: V \rightarrow V, \alpha=\beta=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}, onde T\left(v_{1}\right)=2 v_{1}, T\left(v_{2}\right)=-3 v_{2} e T\left(v_{3}\right)=v_{3}.

Passo 1

O enunciado fala de uma transformação linear T\colon V\to V e diz que a base do domínio e do contradomínio é a mesma, \alpha=\beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}. A tarefa é encontrar a matriz de T nessa base.

Passo 2

Sabemos que a matriz de T em relação às bases \alpha e \beta tem cada coluna igual ao vetor de coordenadas de T(v_{j}) na base \beta.

Passo 3

Temos T(v_{1})=2v_{1}, então suas coordenadas são (2,0,0); em seguida, T(v_{2})=-3v_{2} fica (0,-3,0) e T(v_{3})=v_{3} fica (0,0,1).

Passo 4

Agrupando essas colunas, a matriz de T é
[T]_{\beta,\alpha}= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -3 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -3 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

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