Exercício 3.7. Determine se as seguintes séries convergem. Em caso positivo, calcule suas somas.
sumn=1^infty 1n^2+3 n+2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty1n^2+3n+2
e, se convergir, encontrar sua soma. O truque clássico aqui é notar que o denominador é um produto de fatores que permitem decomposição em frações parciais e telescópico.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
n^2+3n+2 = (n+1)(n+2)
Em seguida, procuramos constantes A e B tais que
1(n+1)(n+2) = An+1 + Bn+2
Multiplicando ambos os lados por (n+1)(n+2)
1 = A(n+2) + B(n+1) = (A+B)n + (2A+B)
Igualando coeficientes obtemos o sistema
A+B=0, 2A+B=1,
cuja solução é A=1, B=-1. Logo
1(n+1)(n+2) = 1n+1 - 1n+2

Passo 3

Definimos a soma parcial
SN = sumn=1^N1(n+1)(n+2) = sumn=1^Nl(1n+1-1n+2r)
Esse somatório telescopa:
SN = l(tfrac12-tfrac13r) + l(tfrac13-tfrac14r) + cdots + l(tfrac1N+1-tfrac1N+2r) = 12 - 1N+2

Passo 4

Para Ntoinfty temos tfrac1N+2to0, então
sumn=1^infty1n^2+3n+2 = limNtoinftySN = 12
Portanto a série converge e sua soma é tfrac12.

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty1n^2+3n+2 = 12

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