Exercício 3.7. Determine se as seguintes séries convergem. Em caso positivo, calcule suas somas.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se convergir, encontrar sua soma. O truque clássico aqui é notar que o denominador é um produto de fatores que permitem decomposição em frações parciais e telescópico.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador:
Em seguida, procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
dá
Igualando coeficientes obtemos o sistema
cuja solução é
,
. Logo
Passo 3
Definimos a soma parcial
Esse somatório telescopa:
Passo 4
Para
temos
, então
Portanto a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e