Determine em cada item a reta tangente da curva dada no ponto t0 :
r(t)=(1-t^21+t^2, 2 t1+t^2) em t0=1

Passo 1

Esse exercício pede pra gente achar a reta tangente da curva paramétrica r(t) = l(1-t^21+t^2, 2t1+t^2r) no ponto t0 = 1. O conteúdo aqui é derivada de função vetorial (ou curva paramétrica) e equação da reta tangente. Vamos precisar: separar os componentes x(t) e y(t), calcular as derivadas x'(t) e y'(t), avaliar em t0, achar a inclinação da reta e depois montar a reta usando a forma ponto-inclinação.

Passo 2

A gente começa identificando as coordenadas: x(t) = 1-t^21+t^2 e y(t) = 2t1+t^2.

Passo 3

Agora, pra achar a reta tangente, precisamos das derivadas x'(t) e y'(t). Vamos usar a regra do quociente: se u(t)/v(t), então
(u/v)' = u' v - u v'v^2.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente em x(t) = 1 - t^21 + t^2: temos u = 1 - t^2 e v = 1 + t^2. Então
x'(t) = (-2t)(1+t^2) - (1-t^2)(2t)(1+t^2)^2 = -2t -2t^3 -2t +2t^3(1+t^2)^2 = -4t(1+t^2)^2

Passo 5

Agora em y(t) = 2t1+t^2, com u = 2t e v = 1+t^2:
y'(t) = 2(1+t^2) - 2tcdot 2t(1+t^2)^2 = 2 +2t^2 -4t^2(1+t^2)^2 = 2 -2t^2(1+t^2)^2 = 2(1-t^2)(1+t^2)^2

Passo 6

Avalia em t=1:
x'(1) = -4cdot1(1+1)^2 = -44 = -1,
y'(1) = 2(1-1)(1+1)^2 = 0
O vetor tangente em t=1 é (-1,0), então a inclinação da reta é m = y'(1)x'(1) = 0. Próximo passo, o ponto da curva em t=1:
x(1) = 1-11+1 = 0,
y(1) = 2cdot11+1 = 1

Passo 7

Como a inclinação é zero, a reta tangente é horizontal passando por (0,1). Na forma ponto-inclinação:
y - 1 = 0,(x - 0)
Que simplifica pra y = 1.

Resposta

y = 1

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