Determine em cada item a reta tangente da curva dada no ponto t0 :
r(t)=(t-1t, t^2-1t-1, tt+1) em t0=2

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a reta tangente à curva dada pela função vetorial r(t)=l(t-1t,;t^2-1t-1,;tt+1r) no ponto t0=2. O conteúdo é cálculo de derivada vetorial em R^3 e vamos precisar derivar cada componente, avaliar em t=2 para achar o ponto e o vetor direção, e depois montar a equação paramétrica da reta tangente.

Passo 2

Vamos derivar a primeira componente x(t)=t-1t usando a regra do quociente. Sejam u(t)=t-1 e v(t)=t:
x'(t)=u'(t)v(t)-u(t)v'(t)[v(t)]^2=1cdot t-(t-1)cdot1t^2=1t^2
Em t=2 fica x'(2)=tfrac14.

Passo 3

Agora a segunda componente y(t)=t^2-1t-1. Dá pra simplificar porque t^2-1=(t-1)(t+1), então y(t)=t+1 para tneq1. Assim:
y'(t)=1
Em t=2 temos y'(2)=1.

Passo 4

Para a terceira componente z(t)=tt+1 usamos regra do quociente com u(t)=t e v(t)=t+1:
z'(t)=1cdot(t+1)-tcdot1(t+1)^2=1(t+1)^2
Logo em t=2 z'(2)=tfrac19.

Passo 5

Com isso, o vetor derivada em t=2 é
r'(2)=l(tfrac14,;1,;tfrac19r)

Passo 6

Agora a gente calcula o ponto da curva em t=2. Fazendo cada componente: x(2)=tfrac12, y(2)=3, z(2)=tfrac23. Logo:
r(2)=l(tfrac12,;3,;tfrac23r)

Passo 7

Pra montar a equação paramétrica da reta tangente, usamos ponto mais parâmetro vezes vetor direção. Se chamarmos o parâmetro de s, a reta fica:
ell(s)=tfrac123tfrac23+stfrac141tfrac19

Resposta

ell(s)=tfrac123tfrac23+stfrac141tfrac19

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