Determine, em cada um dos itens abaixo, os valores de x in R que tornam verdadeiras as desigualdades. É necessário jutificar cuidadosamente cada passagem da solução. 5 x-23 x+4<2

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os reais x que satisfazem a desigualdade racional. O conteúdo principal é inequação envolvendo fração, então vamos escrever tudo num só lado e deixar zero do outro lado.

Passo 2

Subtraindo 2 de ambos os lados temos
5x-23x+4-2<0
Agora unificamos em uma única fração com o mesmo denominador
5x-2-2(3x+4)3x+4<0
Simplificando o numerador
5x-2-6x-8 = -x-10
ficando
-x-103x+4<0

Passo 3

Observação importante sobre domínio: o denominador não pode ser zero, logo
3x+4neq0 implies xneq -tfrac43

Passo 4

Em seguida, encontramos os pontos críticos onde numerador ou denominador se anulam: numerador -x-10=0 x=-10, denominador 3x+4=0 x=-tfrac43.

Passo 5

Agora fazemos análise de sinal do quociente em cada intervalo determinado por esses pontos:
Intervalos: ( -infty,-10 ), ( -10,-tfrac43 ), e ( -tfrac43,+infty ).
  1. Para x<-10: numerador -x-10>0, denominador 3x+4<0 ⇒ quociente negativo.
  2. Para -10: numerador -x-10<0, denominador 3x+4<0 ⇒ quociente positivo.
  3. Para x>-tfrac43: numerador -x-10<0, denominador 3x+4>0 ⇒ quociente negativo.

Passo 6

Como queremos quociente <0, mantemos os intervalos onde o sinal é negativo. Não incluímos os pontos críticos x=-10 nem x=-tfrac43 porque em um deles a fração vale zero e no outro o denominador anula. Portanto, a solução é a união dos intervalos onde ficou negativo.

Resposta

xin(-infty,-10)cup(-4/3,infty)

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