Determine, em cada um dos itens abaixo, os valores de
que tornam verdadeiras as desigualdades. É necessário jutificar cuidadosamente cada passagem da solução.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os reais
que satisfazem a desigualdade racional. O conteúdo principal é inequação envolvendo fração, então vamos escrever tudo num só lado e deixar zero do outro lado.
Passo 2
Subtraindo 2 de ambos os lados temos
Agora unificamos em uma única fração com o mesmo denominador
Simplificando o numerador
ficando
Passo 3
Observação importante sobre domínio: o denominador não pode ser zero, logo
Passo 4
Em seguida, encontramos os pontos críticos onde numerador ou denominador se anulam: numerador
dá
, denominador
dá
.
Passo 5
Agora fazemos análise de sinal do quociente em cada intervalo determinado por esses pontos:
Intervalos: ,
, e
.
Intervalos:
- Para
: numerador , denominador ⇒ quociente negativo. - Para
: numerador , denominador ⇒ quociente positivo. - Para
: numerador , denominador ⇒ quociente negativo.
Passo 6
Como queremos quociente <0, mantemos os intervalos onde o sinal é negativo. Não incluímos os pontos críticos
nem
porque em um deles a fração vale zero e no outro o denominador anula. Portanto, a solução é a união dos intervalos onde ficou negativo.