Determine o valor de a para que a função seja contínua.
f(x)=ll a x+1, & se x <= 3 a x^2-1, & se x>3

Passo 1

A função é dada por partes em x=3, então para estudar continuidade precisamos verificar os limites laterais em x=3 e o valor da função nesse ponto. O conteúdo aqui é continuidade de função em ponto e vamos usar definição de limite lateral e igualdade com o valor da função.

Passo 2

Para x→3⁻, a função vale f(3)=ax+1 com x≤3. Assim temos
limxto3^-f(x)=acdot3+1=3a+1

Passo 3

Para x→3⁺, a função vale f(x)=ax^2−1 com x>3. Logo
limxto3^+f(x)=acdot3^2-1=9a-1

Passo 4

Impondo continuidade, igualamos os limites laterais:
3a+1 = 9a - 1
Resolvendo essa equação:

Passo 5

Primeiro isolamos a:
3a+1=9a-1 implies 1+1=9a-3a implies 2=6a implies a=tfrac13

Resposta

a = \tfrac{1}{3}

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