Determine, em cada um dos itens abaixo, os valores de x in R que tornam verdadeiras as desigualdades. É necessário jutificar cuidadosamente cada passagem da solução. 1x-1+2x-2<3x-3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de xinR tais que 1x-1+2x-2<3x-3. Isso é uma desigualdade envolvendo funções racionais, e a gente vai precisar reunir tudo num único lado, passar ao mesmo denominador e depois fazer análise de sinais.

Passo 2

Passando todos os termos para o mesmo lado, definimos
f(x)=1x-1+2x-2-3x-3
e estudamos a condição f(x)<0.
Não podemos ter x=1, x=2 ou x=3 porque aí o denominador zera. Então o domínio é
xinRsetminus1,2,3

Passo 3

Para combinar tudo num denominador só, escrevemos
f(x)=(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)-3(x-1)(x-2)(x-1)(x-2)(x-3)
Agora vamos expandir o numerador:
(x-2)(x-3)=x^2-5x+6,
2(x-1)(x-3)=2x^2-8x+6,
-3(x-1)(x-2)=-3x^2+9x-6.
Somando tudo, sobra
N(x)=-4x+6

Passo 4

Logo podemos reescrever
f(x)=-4x+6(x-1)(x-2)(x-3)
Para resolver
-4x+6(x-1)(x-2)(x-3)<0
vamos fazer análise de sinais. O numerador zera em x=3/2 e o denominador em x=1,2,3. Esses pontos dividem a reta em cinco intervalos, e a gente testa o sinal de cada fator em cada intervalo para ver onde a fração fica negativa.

Passo 5

Fazendo o quadro de sinais dos fatores “ -4x+6”, “ (x-1)”, “ (x-2)” e “ (x-3)” e multiplicando, verifica-se que a fração é negativa exatamente em três faixas de x. Aí já dá para concluir quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Resposta

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