Determine, em cada um dos itens abaixo, os valores de
que tornam verdadeiras as desigualdades. É necessário jutificar cuidadosamente cada passagem da solução.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os valores de
tais que
. Isso é uma desigualdade envolvendo funções racionais, e a gente vai precisar reunir tudo num único lado, passar ao mesmo denominador e depois fazer análise de sinais.
Passo 2
Passando todos os termos para o mesmo lado, definimos
e estudamos a condição
.
Não podemos ter ,
ou
porque aí o denominador zera. Então o domínio é
Não podemos ter
Passo 3
Para combinar tudo num denominador só, escrevemos
Agora vamos expandir o numerador:
,
,
.
Somando tudo, sobra
Somando tudo, sobra
Passo 4
Logo podemos reescrever
Para resolver
vamos fazer análise de sinais. O numerador zera em
e o denominador em
. Esses pontos dividem a reta em cinco intervalos, e a gente testa o sinal de cada fator em cada intervalo para ver onde a fração fica negativa.
Passo 5
Fazendo o quadro de sinais dos fatores “
”, “
”, “
” e “
” e multiplicando, verifica-se que a fração é negativa exatamente em três faixas de
. Aí já dá para concluir quais intervalos satisfazem a desigualdade.