Determine, em cada um dos itens abaixo, os valores de
que tornam verdadeiras as desigualdades. É necessário jutificar cuidadosamente cada passagem da solução.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade envolvendo funções racionais
Isso faz parte do conteúdo de inequações racionais. Vamos precisar saber como determinar o domínio, colocar tudo num único lado, encontrar zeros de numerador e denominador e montar o quadro de sinais.
Passo 2
Primeiro, identificamos o domínio da expressão. Temos divisões por
e por
, então não podemos ter:
nem
Logo,
e
.
Passo 3
Subtraímos o segundo lado do primeiro para obter uma única fração maior que zero:
Colocando no mesmo denominador
e simplificando o numerador:
Passo 4
Fatoramos o numerador e identificamos os pontos críticos:
Numerador: dá zero em
.
Denominador zera em e
. Agora montamos o quadro de sinais para
Numerador:
Denominador zera em
sobre os intervalos definidos por
.
Passo 5
Analisando o sinal em cada intervalo:
- Em
: numerador negativo, denominador negativo quociente positivo. - Em
: numerador negativo, denominador positivo quociente negativo. - Em
: numerador positivo, denominador positivo quociente positivo. - Em
: numerador positivo, denominador negativo quociente negativo.
Queremos onde o quociente é maior que zero, e excluímos.
Passo 6
Da análise do quadro de sinais, a desigualdade vale para
.
Resposta
x \in (-\infty,-2) \cup \bigl(\tfrac12,3\bigr)