Determine, em cada um dos itens abaixo, os valores de x in R que tornam verdadeiras as desigualdades. É necessário jutificar cuidadosamente cada passagem da solução. xx+2>1-x3-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade envolvendo funções racionais
xx+2 > 1 - x3 - x
Isso faz parte do conteúdo de inequações racionais. Vamos precisar saber como determinar o domínio, colocar tudo num único lado, encontrar zeros de numerador e denominador e montar o quadro de sinais.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio da expressão. Temos divisões por x+2 e por 3 - x, então não podemos ter:
x + 2 = 0 implies x = -2,
nem
3 - x = 0 implies x = 3
Logo, x neq -2 e x neq 3.

Passo 3

Subtraímos o segundo lado do primeiro para obter uma única fração maior que zero:
xx+2 - 1 - x3 - x > 0
Colocando no mesmo denominador (x+2)(3 - x) e simplificando o numerador:
x(3 - x) - (1 - x)(x + 2)(x+2)(3 - x) = 3x - x^2 - l(x - x^2 + 2 - 2xr)(x+2)(3 - x) = 4x - 2(x+2)(3 - x)

Passo 4

Fatoramos o numerador e identificamos os pontos críticos:
Numerador: 4x - 2 = 2(2x - 1) dá zero em x = tfrac12.
Denominador zera em x = -2 e x = 3. Agora montamos o quadro de sinais para
2(2x-1)(x+2)(3 - x)
sobre os intervalos definidos por -infty, -2, tfrac12, 3, +infty.

Passo 5

Analisando o sinal em cada intervalo:
  • Em (-infty, -2): numerador negativo, denominador negativo Rightarrow quociente positivo.
  • Em (-2, tfrac12): numerador negativo, denominador positivo Rightarrow quociente negativo.
  • Em (tfrac12, 3): numerador positivo, denominador positivo Rightarrow quociente positivo.
  • Em (3, +infty): numerador positivo, denominador negativo Rightarrow quociente negativo.
    Queremos onde o quociente é maior que zero, e excluímos x=-2, x=tfrac12, x=3.

Passo 6

Da análise do quadro de sinais, a desigualdade vale para
.

Resposta

x \in (-\infty,-2) \cup \bigl(\tfrac12,3\bigr)

Exercícios relacionados