Determine cada limite:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x-x^{2}}{2-x}

Passo 1

O enunciado dá a função racional e pede o limite quando x tende a 2:
\lim_{x\to 2}\frac{2x - x^{2}}{2 - x}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{2x - x^{2}}{2 - x}.
  • O ponto de interesse é x=2.
  • O que se pede é o valor do limite quando x se aproxima de 2.

Passo 2

Primeiro teste: tentar substituir x=2 diretamente na expressão para ver se dá um valor determinado.
\text{Numerador em }x=2:\;2\cdot 2 - 2^{2} = 4 - 4 = 0.
\text{Denominador em }x=2:\;2 - 2 = 0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso indica que não podemos concluir o limite por substituição direta e precisamos manipular a expressão algébrica para simplificá‑la antes de avaliar o limite.

Passo 3

Uma técnica básica para tratar indeterminações do tipo \dfrac{0}{0} é fatorar polinômios e cancelar fatores comuns (quando possível). Vou fatorar o numerador (2x - x^{2}).
2x - x^{2} = x(2 - x).
Então a fração original pode ser escrita como
\frac{2x - x^{2}}{2 - x} = \frac{x(2 - x)}{2 - x}.

Passo 4

Observação sobre o cancelamento: o fator 2 - x aparece no numerador e no denominador. Desde que x\neq 2 (pois em x=2 a expressão original não está definida), é válido cancelar esse fator. Após o cancelamento obtemos a expressão equivalente para x\neq 2:
\frac{x(2 - x)}{2 - x} = x.
Então, para todo x distinto de 2, a função dada coincide com a função polinomial x.

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão para x (em torno de 2, mas sem considerar exatamente x=2), podemos avaliar o limite por substituição direta na forma simplificada:
\lim_{x\to 2}\frac{2x - x^{2}}{2 - x} = \lim_{x\to 2} x = 2.

Passo 6

Interpretação didática: a indeterminação \dfrac{0}{0} ocorreu porque a expressão original tem um “buraco” (removable discontinuity) em x=2 — o fator 2-x zera tanto no numerador quanto no denominador. Após cancelar o fator comum, vimos que a função se comporta como f(x)=x perto de 2, então o limite existe e vale 2. Esse procedimento (fatorar e cancelar) é o método mais simples e eficiente aqui; poderia-se também aplicar a regra de L’Hôpital porque temos uma forma 0/0, mas é desnecessário e mais custoso para este caso simples.

Resposta

2

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