Determine cada limite:
Passo 1
O enunciado dá a função racional e pede o limite quando
tende a
:
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão a ser analisada é
. - O ponto de interesse é
. - O que se pede é o valor do limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Primeiro teste: tentar substituir
diretamente na expressão para ver se dá um valor determinado.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso indica que não podemos concluir o limite por substituição direta e precisamos manipular a expressão algébrica para simplificá‑la antes de avaliar o limite.
Passo 3
Uma técnica básica para tratar indeterminações do tipo
é fatorar polinômios e cancelar fatores comuns (quando possível). Vou fatorar o numerador
.
Então a fração original pode ser escrita como
Passo 4
Observação sobre o cancelamento: o fator
aparece no numerador e no denominador. Desde que
(pois em
a expressão original não está definida), é válido cancelar esse fator. Após o cancelamento obtemos a expressão equivalente para
:
Então, para todo
distinto de
, a função dada coincide com a função polinomial
.
Passo 5
Agora que simplificamos a expressão para
(em torno de
, mas sem considerar exatamente
), podemos avaliar o limite por substituição direta na forma simplificada:
Passo 6
Interpretação didática: a indeterminação
ocorreu porque a expressão original tem um “buraco” (removable discontinuity) em
— o fator
zera tanto no numerador quanto no denominador. Após cancelar o fator comum, vimos que a função se comporta como
perto de
, então o limite existe e vale
. Esse procedimento (fatorar e cancelar) é o método mais simples e eficiente aqui; poderia-se também aplicar a regra de L’Hôpital porque temos uma forma
, mas é desnecessário e mais custoso para este caso simples.